Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €12 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €12 000g = 1%r = 5%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 30 lat przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €150 0002,4% / 12N = 360

I = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 7 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 4% na 3,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 3%n = 7y₁ = 4%y₂ = 3,5%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €935 przy rentowności do wykupu 7% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 6,9 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 25 punktów bazowych.

P₀ = €935y = 7%D = 6,9Δy = −25 bp

P = €

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €54,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 8%. Wyznacz WACC.

β = 0,6r_f = 1,5%r_m = 8%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €20 000, działa przez 10 lat, a jej eksploatacja kosztuje €3 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €20 000M = €3 000n = 10r = 5%

EAC = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €17 500, €33 500, €23 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 17 500CF₂ = 33 500CF₃ = 23 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 300000 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0,05 − 0,01) = 12 000/0,04 = €300 000,00

Odpowiedź

PV = €300 000,00

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 60568 €

Rata miesięczna

i = 0,002, N = 360

A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁶⁰) = €584,91

Łączne odsetki

I = N·A − P = 360·584,9 − 150 000 = €60 568,34

Odpowiedź

I = €60 568,34

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 29,45 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €30,00, i = 0,04, N = 7

€30,00·(1 − 0,7599)/0,04 + €1 000·0,7599 = €180,06 + €759,92 = €939,98

Cena przy nowej rentowności

C = €30,00, i = 0,035, N = 7

€30,00·(1 − 0,786)/0,035 + €1 000·0,786 = €183,44 + €785,99 = €969,43

Zmiana

ΔP = 969,43 − 939,98 = €29,45

Odpowiedź

ΔP = €29,45

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 950,1 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 6,9/1,07 = 6,449

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −6,449·(−0,0025) = 1,612%

P ≈ 935·(1 + 0,01612) = €950,07

Odpowiedź

P = €950,07

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,026 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·12% + 0,6·5%·(1 − 0,258) = 7,026%

Odpowiedź

WACC = 7,026%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 4,993 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€54,50 = €54 500 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,6·6,5% = 5,4%

Wagi

V = €65 000 000, E/V = 0,8385, D/V = 0,1615

WACC

WACC = 0,8385·5,4% + 0,1615·4%·(1 − 0,28) = 4,993%

Odpowiedź

WACC = 4,993%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 5590 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,05⁻¹⁰)/0,05 = 7,722

Zannualizowana cena zakupu

20 000/7,722 = 2 590,09

EAC

EAC = 2 590,09 + 3 000 = €5 590,09

Odpowiedź

EAC = €5 590,09

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 21,74 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 1 446,76

NPV(25%) = −2 528,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·1 446,76/(1 446,76 − (−2 528,00)) = 21,82%

dokładnie: NPV(21,74%) = 0 → IRR = 21,74%

Odpowiedź

IRR = 21,74%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation