W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 9 latach.
PV = €12 0004,8% / 12n = 9
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €500 na koniec każdego miesiąca przez 23 lat. Konto daje 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €5004,8% / 12N = 276
FV = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 3%n = 12
P = €
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 3 lat. Rentowność do wykupu wynosi 9%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 7%n = 3YTM = 9%
D = lata
5.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €16,00 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 1,1, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 7,5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
7.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €7 000, €6 000, €6 000, €5 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €10 000, €11 000, €6 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 10 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, i = 0,015, N = 24
Wartość bieżąca kuponów
€30,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €600,91
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,6995 = €699,54
Cena
P = €1 300,46
Odpowiedź
P = €1 300,46
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
4.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 2,803 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 70/1,09 = 64,22, t·PV = 64,22
t = 2: 70/1,188 = 58,92, t·PV = 117,84
t = 3: 1070/1,295 = 826,24, t·PV = 2 478,71
Duration
P = 949,37
D = 2 660,76/949,37 = 2,803
Odpowiedź
D = 2,803 lata
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,474 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·12% + 0,2857·4%·(1 − 0,21) = 9,474%
Odpowiedź
WACC = 9,474%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,808 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 7 000/1,08 = 6 481,48
CF2/(1 + 0,08)2 = 6 000/1,166 = 5 144,03
CF3/(1 + 0,08)3 = 6 000/1,26 = 4 762,99
CF4/(1 + 0,08)4 = 5 000/1,36 = 3 675,15
Zsumuj
NPV = €63,66
Odpowiedź
NPV = €63,66
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
8.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 14,73 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.