W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €6 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €6 000g = 1%r = 5%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €12 000 przy 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €175 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €12 000A = €1753,6% / 12
N = raty
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% i zapada za 8 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 7% na 7,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 4%n = 8y1 = 7%y2 = 7,5%
ΔP = €
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €940. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 9P = €940
YTM = %
5.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej WACC wynosi 8,75%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 25%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €54,50 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,9rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 6%T = 28%
WACC = %
7.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €10 000, €13 000, €12 000, €15 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt A kosztuje €10 000 i przynosi €5 500, €4 000, €2 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €15 000 i przynosi €4 000, €6 000, €7 500. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,003/175 = 0,7943
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,7943)/ln(1,003) = 76,89
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
76 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 77
Odpowiedź
N = 77 raty
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = −25,87 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Rozwiąż numerycznie
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €937,53
YTM = 7,959%
Odpowiedź
YTM = 7,959%
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 13 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Część dłużna WACC
0,5·6%·(1 − 0,25) = 2,25%
Koszt kapitału własnego
re = (8,75% − 2,25%)/0,5 = 13%
Odpowiedź
re = 13%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,571 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 10 000/1,12 = 8 928,57
CF2/(1 + 0,12)2 = 13 000/1,254 = 10 363,52
CF3/(1 + 0,12)3 = 12 000/1,405 = 8 541,36
CF4/(1 + 0,12)4 = 15 000/1,574 = 9 532,77
Zsumuj
NPV = €7 366,23
Odpowiedź
NPV = €7 366,23
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
8.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 3,029 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 7 500 − 2 500 = 5 000
IRR różnicy
NPVΔ(3%) = 4,59
NPVΔ(4%) = −148,21
r* = 3,029%
Odpowiedź
r* = 3,029%
Sprawdzenie: przy 3,029% oba NPV wynoszą €1 392,39.