Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €2 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 4 latach.

PV = €2 0002% / 4n = 4

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 16 lat chcesz mieć €25 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €25 0003% / 12N = 192

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 8%YTM = 3,5%n = 4

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €935. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 4%n = 8P = €935

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €35,50 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 20%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.

β = 0,8r_f = 3,5%r_m = 7,5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €14 500, €16 500, €10 500, €13 500 na koniec lat od 1 do 4. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 16 500CF₃ = 10 500CF₄ = 13 500

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €30 500, €27 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 30 500CF₂ = 27 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 2166 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·4 = 16

Wartość przyszła

FV = 2 000·(1 + 0,005)¹⁶ = 2 000·1,083 = €2 166,14

Odpowiedź

FV = €2 166,14

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 101,6 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·16 = 192

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0025/(1,615 − 1) = €101,61

Odpowiedź

A = €101,61

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1167 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €40,00, i = 0,0175, N = 8

Wartość bieżąca kuponów

€40,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €296,20

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8704 = €870,41

Cena

P = €1 166,61

Odpowiedź

P = €1 166,61

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,006 %

Równanie dla rentowności

€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €935,37, P(6%) = €875,80

YTM = 5,006%

Odpowiedź

YTM = 5,006%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,4 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9% + 0,3333·6%·(1 − 0,3) = 7,4%

Odpowiedź

WACC = 7,4%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,297 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€35,50 = €35 500 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,8·4% = 6,7%

Wagi

V = €73 900 000, E/V = 0,4804, D/V = 0,5196

WACC

WACC = 0,4804·6,7% + 0,5196·5%·(1 − 0,2) = 5,297%

Odpowiedź

WACC = 5,297%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,264 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 14 500/1,06 = 13 679,25 → Σ = 13 679,25

rok 2: 16 500/1,124 = 14 684,94 → Σ = 28 364,19

rok 3: 10 500/1,191 = 8 816,00 → Σ = 37 180,19

rok 4: 13 500/1,262 = 10 693,26 → Σ = 47 873,45

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 2 819,81/10 693,26 = 3,264

Odpowiedź

DPB = 3,264 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,857 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 10,06 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(10%) = 41,32

NPV(15%) = −3 062,38

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 10 + 5·41,32/(41,32 − (−3 062,38)) = 10,07%

dokładnie: NPV(10,06%) = 0 → IRR = 10,06%

Odpowiedź

IRR = 10,06%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation