W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €8 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 3 latach.
PV = €8 0002% / 12n = 3
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €250 na koniec każdego miesiąca przez 22 lat. Konto daje 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €2502,4% / 12N = 264
FV = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 13 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €684, gdy rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 13P = €684YTM = 8%
c = %
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja z 13 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%) kosztuje €1 100. Emitent może ją wykupić przed terminem za 6 lat po cenie wykupu €1 050. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.
F = €1 000kupon = 5%P = €1 100cena wcześniejszego wykupu = €1 050wcześniejszy wykup za 6 lata
YTC = %
5.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 1. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 28%. Wyznacz WACC.
D/E = 1re = 8%rd = 5%T = 28%
WACC = %
6.CAPM i WACCTrudny
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,6. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 1,5. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 3%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 0,6D/E = 1,5T = 25,8%rf = 3%rm − rf = 4%
re = %
7.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €200 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €29 000, a potem przepływ rośnie o 1 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €29 000g = 1%r = 12%
NPV = €
8.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €35 500, €37 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 35 500CF2 = 37 000
IRR = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 8494 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,08)−13 = €367,70
Kupon
C = (684 − 367,70)/7,904 = €40,02
Oprocentowanie kuponu
c = 40,02/1000 = 4,002%
Odpowiedź
c = 4,002%
4.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTC = 3,858 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
1100 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
Rozwiąż numerycznie
y = 3%: €1 150,22
y = 4%: €1 091,94
YTC = 3,858%
Odpowiedź
YTC = 3,858%
Rentowność do wykupu wynosi 3,999%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,8 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8% + 0,5·5%·(1 − 0,28) = 5,8%
Odpowiedź
WACC = 5,8%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 8,071 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 0,6·(1 + 0,742·1,5) = 1,268
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3% + 1,268·4% = 8,071%
Odpowiedź
re = 8,071%
7.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 63636 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość przepływów
PV = 29 000/(0,12 − 0,01) = 263 636,36
NPV
NPV = 263 636,36 − 200 000 = €63 636,36
Odpowiedź
NPV = €63 636,36
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
8.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 28,56 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(25%) = 2 080,00
NPV(30%) = −798,82
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.