Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 18 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 18%m = 12

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €250 na koniec każdego miesiąca przez 28 lat. Konto daje 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €2503,6% / 12N = 336

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 8% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 8%n = 7

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €835. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 4%n = 9P = €835

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,8. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,25. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,8D/E = 0,25T = 25%r_f = 2,5%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €32 000, €20 000, €21 000, €36 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 32 000CF₂ = 20 000CF₃ = 21 000CF₄ = 36 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt A kosztuje €10 000 i przynosi €6 000, €4 000, €2 000 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €12 000 i przynosi €3 000, €5 000, €7 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −12 000, 3 000, 5 000, 7 000

r* = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 19,56 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,18/12 = 0,015

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,015)¹² − 1 = 1,196 − 1 = 19,56%

Odpowiedź

EAR = 19,56%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 144665 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·28 = 336

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,736 − 1)/0,003 = €144 665,30

Odpowiedź

FV = €144 665,30

Sam wpłaciłeś €84 000; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 841,6 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,04, N = 14

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €264,08

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,5775 = €577,48

Cena

P = €841,55

Odpowiedź

P = €841,55

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 6,476 %

Równanie dla rentowności

€835 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(6%) = €863,97, P(7%) = €804,54

YTM = 6,476%

Odpowiedź

YTM = 6,476%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,799 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·13% + 0,4286·7%·(1 − 0,21) = 9,799%

Odpowiedź

WACC = 9,799%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 7,725 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,8·(1 + 0,75·0,25) = 0,95

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,95·5,5% = 7,725%

Odpowiedź

r_e = 7,725%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 16982 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 32 000/1,07 = 29 906,54

CF₂/(1 + 0,07)² = 20 000/1,145 = 17 468,77

CF₃/(1 + 0,07)³ = 21 000/1,225 = 17 142,26

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 36 000/1,311 = 27 464,23

Zsumuj

NPV = €16 981,80

Odpowiedź

NPV = €16 981,80

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: r* = 8,49 %

Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.

Różnica przepływów

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 6 000 = −3 000

ΔCF₂ = 5 000 − 4 000 = 1 000

ΔCF₃ = 7 000 − 2 000 = 5 000

IRR różnicy

NPV_Δ(8%) = 48,72

NPV_Δ(9%) = −49,70

r* = 8,49%

Odpowiedź

r* = 8,49%

Sprawdzenie: przy 8,49% oba NPV wynoszą €495,16.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation