Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 9 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €50 0006% / 4n = 9

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 11 lat chcesz mieć €25 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 4,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €25 0004,2% / 12N = 132

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 5,5%n = 9

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 7%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 6%n = 6YTM = 7%

D = lata

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,5 ma wymaganą stopę zwrotu 9,25%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2,5%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,5r_e = 9,25%r_f = 2,5%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 0,9 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,2. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 6,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1T = 25%r_f = 2%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €30 000, działa przez 5 lat, a jej eksploatacja kosztuje €5 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €30 000M = €5 000n = 5r = 5%

EAC = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €7 000, €4 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 4 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 29254 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·9 = 36

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,709 = €29 254,49

Odpowiedź

PV = €29 254,49

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 149,3 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·11 = 132

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0035/(1,586 − 1) = €149,33

Odpowiedź

A = €149,33

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 964,9 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,0275, N = 18

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,6137)/0,0275 = €351,22

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6137 = €613,66

Cena

P = €964,88

Odpowiedź

P = €964,88

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 5,19 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 60/1,07 = 56,07, t·PV = 56,07

t = 2: 60/1,145 = 52,41, t·PV = 104,81

t = 3: 60/1,225 = 48,98, t·PV = 146,93

t = 4: 60/1,311 = 45,77, t·PV = 183,09

t = 5: 60/1,403 = 42,78, t·PV = 213,90

t = 6: 1060/1,501 = 706,32, t·PV = 4 237,94

Duration

P = 952,33

D = 4 942,75/952,33 = 5,19

Odpowiedź

D = 5,19 lata

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 7 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (9,25% − 2,5%)/1,5 = 4,5%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 2,5% + 4,5% = 7%

Odpowiedź

r_m = 7%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 10,9 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 0,9/(1 + 0,75·0,2) = 0,7826

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 0,7826·(1 + 0,75·1) = 1,37

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2% + 1,37·6,5% = 10,9%

Odpowiedź

r_e = 10,9%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 11929 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,05⁻⁵)/0,05 = 4,329

Zannualizowana cena zakupu

30 000/4,329 = 6 929,24

EAC

EAC = 6 929,24 + 5 000 = €11 929,24

Odpowiedź

EAC = €11 929,24

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 10,66 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(10%) = 82,64

NPV(15%) = −510,40

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 10 + 5·82,64/(82,64 − (−510,40)) = 10,7%

dokładnie: NPV(10,66%) = 0 → IRR = 10,66%

Odpowiedź

IRR = 10,66%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation