Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €1 000 przy nominalnej stopie 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 3 latach.

PV = €1 0004,8% / 12n = 3

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €5 000 przy 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €75 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €5 000A = €756% / 12

N = raty

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 5 latach. Rentowność do wykupu wynosi 4% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 4%n = 5

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €1 120. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 10P = €1 120

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej WACC wynosi 6,83%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stawka podatku 28%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 6,83%r_d = 3%T = 28%

r_e = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 1 000 000 akcji notowanych po €24,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €9 800 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,20 na akcję, a dywidendy rosną o 5% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €24 500 000 i koszt przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 1 000 000P₀ = €24,50księgowy kapitał własny = €9 800 000D₀ = €1,20g = 5%D = €24 500 000r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €80 000. Przynosi €13 000 na koniec każdego roku przez 8 lat, a potem można ją sprzedać za €20 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €80 000CF = €13 000S = €20 000n = 8r = 6%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €13 500, €8 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 8 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 1155 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·3 = 36

Wartość przyszła

FV = 1 000·(1 + 0,004)³⁶ = 1 000·1,155 = €1 154,55

Odpowiedź

FV = €1 154,55

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 82 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,005/75 = 0,6667

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,6667)/ln(1,005) = 81,3

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

81 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 82

Odpowiedź

N = 82 raty

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1045 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,02, N = 10

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,8203)/0,02 = €224,56

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8203 = €820,35

Cena

P = €1 044,91

Odpowiedź

P = €1 044,91

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,485 %

Równanie dla rentowności

€1 120 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Rozwiąż numerycznie

P(4%) = €1 162,22, P(5%) = €1 077,22

YTM = 4,485%

Odpowiedź

YTM = 4,485%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 7,997 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

Część dłużna WACC

0,2·3%·(1 − 0,28) = 0,432%

Koszt kapitału własnego

r_e = (6,83% − 0,432%)/0,8 = 7,997%

Odpowiedź

r_e = 7,997%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,256 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 1,2·1,05 = €1,26

r_e = 1,26/24,5 + 0,05 = 10,14%

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€24,50 = €24 500 000

V = €49 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10,14% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 6,256%

Odpowiedź

WACC = 6,256%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 13276 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

13 000·6,21 = 80 727,32

Wartość bieżąca wartości końcowej

20 000/1,594 = 12 548,25

NPV

NPV = −80 000 + 80 727,32 + 12 548,25 = €13 275,57

Odpowiedź

NPV = €13 275,57

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 5,437 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 113,38

NPV(10%) = −1 115,70

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·113,38/(113,38 − (−1 115,70)) = 5,461%

dokładnie: NPV(5,437%) = 0 → IRR = 5,437%

Odpowiedź

IRR = 5,437%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation