W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €20 000 przy nominalnej stopie 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 5 latach.
PV = €20 0003,6% / 12n = 5
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €10 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 4 lat przy 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €10 0003% / 12N = 48
I = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 6 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 5,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 7%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 6y0 = 5,5%y1 = 7%
HPR = %
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €890. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 6P = €890
YTM = %
5.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,2. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,5. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 7%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 1,2D/E = 0,5T = 28%rf = 3,5%rm − rf = 7%
re = %
7.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €22 000, €20 000, €10 000. Koszt kapitału wynosi 9 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt A kosztuje €20 000 i przynosi €11 500, €8 000, €4 000 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €22 000 i przynosi €5 500, €9 500, €11 500. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,0025, N = 48
A = 10 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−48) = €221,34
Łączne odsetki
I = N·A − P = 48·221,3 − 10 000 = €624,48
Odpowiedź
I = €624,48
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = −0,4589 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Rozwiąż numerycznie
P(9%) = €910,28, P(10%) = €869,34
YTM = 9,488%
Odpowiedź
YTM = 9,488%
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,532 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 1,2·(1 + 0,72·0,5) = 1,632
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3,5% + 1,632·7% = 14,92%
Odpowiedź
re = 14,92%
7.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −261,1 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 22 000/1,09 = 20 183,49
CF2/(1 + 0,09)2 = 20 000/1,188 = 16 833,60
CF3/(1 + 0,09)3 = 10 000/1,295 = 7 721,83
Zsumuj
NPV = €−261,08
Odpowiedź
NPV = €−261,08
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
8.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 5,813 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 5 500 − 11 500 = −6 000
ΔCF2 = 9 500 − 8 000 = 1 500
ΔCF3 = 11 500 − 4 000 = 7 500
IRR różnicy
NPVΔ(5%) = 125,04
NPVΔ(6%) = −28,24
r* = 5,813%
Odpowiedź
r* = 5,813%
Sprawdzenie: przy 5,813% oba NPV wynoszą €1 389,87.