Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 4 lat potrzebujesz €40 000. Konto daje 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €40 0003,6% / 12n = 4

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €12 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 5 lat. Oprocentowanie wynosi 3 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €12 0003% / 12N = 60

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 12 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 9%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 10,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 12y₀ = 9%y₁ = 10,5%

HPR = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% i zapada za 4 lat. Rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 2%n = 4YTM = 2,5%

D = lata

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €12 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €45,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €54 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €2,70 na akcję, a dywidendy rosną o 2% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €54 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 4%. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 4 000 000P₀ = €45,00księgowy kapitał własny = €54 000 000D₀ = €2,70g = 2%D = €54 000 000r_d = 4%T = 28%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €34 000, €20 000, €36 000, €27 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 34 000CF₂ = 20 000CF₃ = 36 000CF₄ = 27 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €6 000, €3 500, €4 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 3 500CF₃ = 4 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 34643 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·4 = 48

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,155 = €34 642,98

Odpowiedź

PV = €34 642,98

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 215,6 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·5 = 60

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,8609

A = 12 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €215,62

Odpowiedź

A = €215,62

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = −1,382 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €60,00, i = 0,09, N = 12

€60,00·(1 − 0,3555)/0,09 + €1 000·0,3555 = €429,64 + €355,53 = €785,18

Cena sprzedaży

C = €60,00, i = 0,105, N = 11

€60,00·(1 − 0,3334)/0,105 + €1 000·0,3334 = €380,89 + €333,44 = €714,33

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (60 + 714,33 − 785,18)/785,18 = −1,382%

Odpowiedź

HPR = −1,382%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 3,883 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 20/1,025 = 19,51, t·PV = 19,51

t = 2: 20/1,051 = 19,04, t·PV = 38,07

t = 3: 20/1,077 = 18,57, t·PV = 55,72

t = 4: 1020/1,104 = 924,07, t·PV = 3 696,28

Duration

P = 981,19

D = 3 809,58/981,19 = 3,883

Odpowiedź

D = 3,883 lata

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 11,51 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941

WACC

WACC = 0,7059·14% + 0,2941·7%·(1 − 0,21) = 11,51%

Odpowiedź

WACC = 11,51%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,911 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 2,7·1,02 = €2,75

r_e = 2,754/45 + 0,02 = 8,12%

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€45,00 = €180 000 000

V = €234 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·8,12% + 0,2308·4%·(1 − 0,28) = 6,911%

Odpowiedź

WACC = 6,911%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 24229 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 34 000/1,07 = 31 775,70

CF₂/(1 + 0,07)² = 20 000/1,145 = 17 468,77

CF₃/(1 + 0,07)³ = 36 000/1,225 = 29 386,72

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 27 000/1,311 = 20 598,17

Zsumuj

NPV = €24 229,37

Odpowiedź

NPV = €24 229,37

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 18,22 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(15%) = 493,96

NPV(20%) = −254,63

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 15 + 5·493,96/(493,96 − (−254,63)) = 18,3%

dokładnie: NPV(18,22%) = 0 → IRR = 18,22%

Odpowiedź

IRR = 18,22%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation