W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €5 000 przy nominalnej stopie 3 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 6 latach.
PV = €5 0003% / 4n = 6
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €20 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 6 lat. Oprocentowanie wynosi 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €20 0007,2% / 12N = 72
A = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 5 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 4,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 5y0 = 5%y1 = 4,5%
HPR = %
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €910 przy rentowności do wykupu 6% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 7 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 150 punktów bazowych.
P0 = €910y = 6%D = 7Δy = −150 bp
P = €
5.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,75. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stawka podatku 25,8%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,75re = 11%rd = 7%T = 25,8%
WACC = %
6.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 2 500 000 akcji po €54,50 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,6rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
7.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €30 000, działa przez 9 lat, a jej eksploatacja kosztuje €5 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €30 000M = €5 000n = 9r = 6%
EAC = €
8.NPV i IRRTrudny
Inwestycja €40 000 przynosi €6 500 na koniec każdego roku przez 7 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
C0 = €40 000CF = €6 500n = 7
IRR = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 5982 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·6 = 72
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,65
A = 20 000·0,006/(1 − 0,65) = €342,90
Odpowiedź
A = €342,90
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 6,727 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 7/1,06 = 6,604
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −6,604·(−0,015) = 9,906%
P ≈ 910·(1 + 0,09906) = €1 000,14
Odpowiedź
P = €1 000,14
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,512 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wartości rynkowe
E = 2 500 000·€54,50 = €136 250 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2,5% + 0,6·6% = 6,1%
Wagi
V = €176 250 000, E/V = 0,773, D/V = 0,227
WACC
WACC = 0,773·6,1% + 0,227·6%·(1 − 0,25) = 5,737%
Odpowiedź
WACC = 5,737%
7.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 9411 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,06−9)/0,06 = 6,802
Zannualizowana cena zakupu
30 000/6,802 = 4 410,67
EAC
EAC = 4 410,67 + 5 000 = €9 410,67
Odpowiedź
EAC = €9 410,67
8.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 3,329 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wymagany współczynnik renty
(1 − (1 + i)−7)/i = 40 000/6 500 = 6,154
Wyznacz stopę
Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.