Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €2 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 7,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €2 000g = 2,5%r = 7,5%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 5 lat chcesz mieć €100 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 4,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €100 0004,2% / 12N = 60

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 12 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 3%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 4,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 3%n = 12y₀ = 5%y₁ = 4,5%

HPR = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 3% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €890. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 3%n = 9P = €890

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej WACC wynosi 7%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 25%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 7%r_d = 4%T = 25%

r_e = %

6.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,6. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 5,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 1,1D/E = 0,6T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €7 000, €9 000, €5 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 9 000CF₃ = 5 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €4 500, €5 000, €6 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 5 000CF₃ = 6 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 40000 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,075 − 0,025) = 2 000/0,05 = €40 000,00

Odpowiedź

PV = €40 000,00

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 1501 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·5 = 60

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,0035/(1,233 − 1) = €1 500,69

Odpowiedź

A = €1 500,69

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 9,642 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €30,00, i = 0,05, N = 12

€30,00·(1 − 0,5568)/0,05 + €1 000·0,5568 = €265,90 + €556,84 = €822,73

Cena sprzedaży

C = €30,00, i = 0,045, N = 11

€30,00·(1 − 0,6162)/0,045 + €1 000·0,6162 = €255,87 + €616,20 = €872,07

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (30 + 872,07 − 822,73)/822,73 = 9,642%

Odpowiedź

HPR = 9,642%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,514 %

Równanie dla rentowności

€890 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84

YTM = 4,514%

Odpowiedź

YTM = 4,514%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 8 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

Część dłużna WACC

0,2·4%·(1 − 0,25) = 0,6%

Koszt kapitału własnego

r_e = (7% − 0,6%)/0,8 = 8%

Odpowiedź

r_e = 8%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 10,66 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 1,1·(1 + 0,72·0,6) = 1,575

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2% + 1,575·5,5% = 10,66%

Odpowiedź

r_e = 10,66%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −1516 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 7 000/1,07 = 6 542,06

CF₂/(1 + 0,07)² = 9 000/1,145 = 7 860,95

CF₃/(1 + 0,07)³ = 5 000/1,225 = 4 081,49

Zsumuj

NPV = €−1 515,51

Odpowiedź

NPV = €−1 515,51

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 25,81 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 128,00

NPV(30%) = −621,30

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·128,00/(128,00 − (−621,30)) = 25,85%

dokładnie: NPV(25,81%) = 0 → IRR = 25,81%

Odpowiedź

IRR = 25,81%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation