Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.

PV = €12 0004% / 12n = 10

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €12 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 3 lat. Oprocentowanie wynosi 3 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €12 0003% / 12N = 36

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 11 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 7%YTM = 5%n = 11

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €895. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 6P = €895

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 2 ma wymaganą stopę zwrotu 15%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 2r_e = 15%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 1 000 000 akcji notowanych po €31,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €18 600 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €2,80 na akcję, a dywidendy rosną o 3% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €24 800 000 i koszt przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 30%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 1 000 000P₀ = €31,00księgowy kapitał własny = €18 600 000D₀ = €2,80g = 3%D = €24 800 000r_d = 5%T = 30%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €20 000 i przynosi €6 000 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 10 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 000CF₃ = 6 000CF₄ = 6 000CF₅ = 6 000

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €15 500, €11 500, €12 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 15 500CF₂ = 11 500CF₃ = 12 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 17890 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·10 = 120

Wartość przyszła

FV = 12 000·(1 + 0,003333)¹²⁰ = 12 000·1,491 = €17 889,99

Odpowiedź

FV = €17 889,99

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 349 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·3 = 36

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,914

A = 12 000·0,0025/(1 − 0,914) = €348,97

Odpowiedź

A = €348,97

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1168 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €35,00, i = 0,025, N = 22

Wartość bieżąca kuponów

€35,00·(1 − 0,5809)/0,025 = €586,79

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,5809 = €580,86

Cena

P = €1 167,65

Odpowiedź

P = €1 167,65

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 10,44 %

Równanie dla rentowności

€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Rozwiąż numerycznie

P(10%) = €912,89, P(11%) = €873,08

YTM = 10,44%

Odpowiedź

YTM = 10,44%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 8,5 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (15% − 2%)/2 = 6,5%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 2% + 6,5% = 8,5%

Odpowiedź

r_m = 8,5%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,391 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 2,8·1,03 = €2,88

r_e = 2,884/31 + 0,03 = 12,3%

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€31,00 = €31 000 000

V = €55 800 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·12,3% + 0,4444·5%·(1 − 0,3) = 8,391%

Odpowiedź

WACC = 8,391%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,263 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 6 000/1,1 = 5 454,55 → Σ = 5 454,55

rok 2: 6 000/1,21 = 4 958,68 → Σ = 10 413,22

rok 3: 6 000/1,331 = 4 507,89 → Σ = 14 921,11

rok 4: 6 000/1,464 = 4 098,08 → Σ = 19 019,19

rok 5: 6 000/1,611 = 3 725,53 → Σ = 22 744,72

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 980,81/3 725,53 = 4,263

Odpowiedź

DPB = 4,263 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,333 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 27,56 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 904,00

NPV(30%) = −810,20

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·904,00/(904,00 − (−810,20)) = 27,64%

dokładnie: NPV(27,56%) = 0 → IRR = 27,56%

Odpowiedź

IRR = 27,56%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation