Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 7 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 5 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €50 0005% / 12n = 7

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €15 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 4 lat przy 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €15 0006% / 12N = 48

I = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 11 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 7%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 8,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 11y₀ = 7%y₁ = 8,5%

HPR = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 16 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%) kosztuje €1 281. Emitent może ją wykupić przed terminem za 6 lat po cenie wykupu €1 070. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 7%P = €1 281cena wcześniejszego wykupu = €1 070wcześniejszy wykup za 6 lata

YTC = %

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,2 ma wymaganą stopę zwrotu 8,2%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 1%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,2r_e = 8,2%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,6. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,75. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 6,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,6D/E = 0,75T = 30%r_f = 3,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €14 000, €14 000, €16 000, €22 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000CF₃ = 16 000CF₄ = 22 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €8 500, €13 500, €13 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 13 500CF₃ = 13 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 35260 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·7 = 84

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,418 = €35 260,03

Odpowiedź

PV = €35 260,03

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 1909 €

Rata miesięczna

i = 0,005, N = 48

A = 15 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻⁴⁸) = €352,28

Łączne odsetki

I = N·A − P = 48·352,3 − 15 000 = €1 909,22

Odpowiedź

I = €1 909,22

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = −3,14 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €60,00, i = 0,07, N = 11

€60,00·(1 − 0,4751)/0,07 + €1 000·0,4751 = €449,92 + €475,09 = €925,01

Cena sprzedaży

C = €60,00, i = 0,085, N = 10

€60,00·(1 − 0,4423)/0,085 + €1 000·0,4423 = €393,68 + €442,29 = €835,97

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (60 + 835,97 − 925,01)/925,01 = −3,14%

Odpowiedź

HPR = −3,14%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 2,912 %

Równanie dla rentowności

1281 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1070/(1 + y)⁶

Rozwiąż numerycznie

y = 2%: €1 342,23

y = 3%: €1 275,31

YTC = 2,912%

Odpowiedź

YTC = 2,912%

Rentowność do wykupu wynosi 4,499%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 7 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (8,2% − 1%)/1,2 = 6%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 1% + 6% = 7%

Odpowiedź

r_m = 7%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 9,447 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,6·(1 + 0,7·0,75) = 0,915

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,915·6,5% = 9,447%

Odpowiedź

r_e = 9,447%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 6345 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 14 000/1,1 = 12 727,27

CF₂/(1 + 0,1)² = 14 000/1,21 = 11 570,25

CF₃/(1 + 0,1)³ = 16 000/1,331 = 12 021,04

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 22 000/1,464 = 15 026,30

Zsumuj

NPV = €6 344,85

Odpowiedź

NPV = €6 344,85

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 31,46 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 443,79

NPV(35%) = −1 012,55

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·443,79/(443,79 − (−1 012,55)) = 31,52%

dokładnie: NPV(31,46%) = 0 → IRR = 31,46%

Odpowiedź

IRR = 31,46%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation