Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (stal) pod obciążeniem osiowym.

P = 115 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 20 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 250 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: aluminium, średnica zewnętrzna 80 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 70 GPa, naprężenie dopuszczalne 100 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MParura: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Wał drążony ma przenosić moment skręcający 200 N·m. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,5 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 60 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (aluminium) przenosi moc 5 kW przy 1450 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 60 MPa, a kąt skręcenia 1° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 7 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 12 kN/m od 0 do 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

55 kN @ 0 m35 kN @ 6 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 300 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 30 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 195 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 300 mmwycięcie: 50 × 30 mmśrodek otworu: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −50 MPa, σᵧ = −20 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 1500 mm i grubości ścianki 10 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 1,5 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 50° do osi walca. Wyznacz naprężenie normalne σ_n działające w poprzek spoiny.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 1,5 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2,5 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 14 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 200 GPa (stal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 50 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/250. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 1 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 50 mm

h_req = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 110 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 110 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 10,17 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1017/200000 = 0,005084 = 5084 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,005084·2000 mm = 10,17 mm

Odpowiedź

δ = 10,17 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 346,6 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·3063 = 2,772 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,00125, 0,001429) = 0,00125 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,00125·2,772 × 10⁸ = 346557 N = 346,6 kN

Odpowiedź

P_max = 346,6 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 26,26 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·60·0,9375)) = 26,26 mm

d_i = 0,5·26,26 = 13,13 mm

Odpowiedź

d_o = 26,26 mm

Wał pełny wymagałby d = 25,7 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 29,32 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

d_τ = ∛(16·32929/(π·60)) = 14,09 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·32929/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 29,32 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(14,09, 29,32) = 29,32 mm

Odpowiedź

d = 29,32 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 42 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Przetnij w x = 7 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 48·7 − 12·7·3,5 = 42 kN·m

Odpowiedź

M_x = 42 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 1 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 76 kN, R₂ = 46 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −38, M_D = −29, M_E = −28, M_F = −35, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = −55 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 24,44 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

środnik: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187,5 + 3600·90)/6300 = 131,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 180·15³/12 + 2700·(187,5 − 131,8)² = 8,432 × 10⁶ mm⁴

środnik: 20·180³/12 + 3600·(90 − 131,8)² = 1,601 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,432 × 10⁶ + 1,601 × 10⁷ = 2,444 × 10⁷ mm⁴ = 24,44 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 24,44 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 334,2 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (45000·150 − 1500·195)/(45000 − 1500) = 148,4 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·300³/12 + 45000·1,552² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·30³/12 + 1500·46,55² = 3,363 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 334,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 334,2 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 25 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((−50 − −20)/2)² + −20²) = 25 MPa

Odpowiedź

τ_max = 25 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_n = 79,49 MPa

Naprężenia w ściance

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,5·750/10 = 112,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 56,25 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

σ_n = 56,25·sin²50° + 112,5·cos²50° = 79,49 MPa

Odpowiedź

σ_n = 79,49 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 4,595 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 14000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·2500²·5500²/(3·2,4 × 10¹³·8000) = 4,595 mm

Odpowiedź

δ_P = 4,595 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 124,2 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3000⁴/(384·11000·12) = 7,99 × 10⁶ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·7,99 × 10⁶/50)^1/3 = 124,2 mm

Odpowiedź

h_req = 124,2 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 8,225 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·5000 = 5000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/5000² = 8225 N = 8,225 kN

Odpowiedź

P_cr = 8,225 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 95,08 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·110000 = 220000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 95,08 mm

Odpowiedź

d = 95,08 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 252,4, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials