Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (mosiądz) pod obciążeniem osiowym.

P = 25 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 70 kNodcinek 1: Ø40 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

W próbie skręcania pełna próbka o średnicy 20 mm jest skręcana momentem 50 N·m. Końce odcinka pomiarowego o długości 200 mm obracają się względem siebie o 1,4° (materiał jest jeszcze w zakresie sprężystym). Wyznacz moduł sprężystości postaciowej G materiału.

T = 50 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 1,4°

G = GPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) przenosi moc 10 kW przy 750 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 40 MPa, a kąt skręcenia 0,75° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 12 kN/m od 0 do 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 15 kN w 1,5 mw = 8 kN/m od 0 do 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Rura okrągła ma średnicę zewnętrzną D = 240 mm i średnicę wewnętrzną d = 232 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.

D = 240 mmd = 232 mm

r = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 40 MPa przy rozciąganiu i 150 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy dodatni moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 500 mm i grubości ścianki 6 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 2 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 20° do osi walca. Wyznacz naprężenie normalne σ_n działające w poprzek spoiny.

D = 500 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (stal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,487 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/201,1 = 124,3 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 124,3/100000 = 0,001243 = 1243 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,001243·2000 mm = 2,487 mm

Odpowiedź

δ = 2,487 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,493 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 55,7 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 55,7·500/70000 = 0,3979 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 618,9·1000/200000 = 3,095 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,493 mm

Odpowiedź

δ = 3,493 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: G = 26,05 GPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności i kąt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,4·π/180 = 0,02443 rad

Moduł sprężystości poprzecznej

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(15708·0,02443) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Odpowiedź

G = 26,05 GPa

Porównaj: stal ≈ 80 GPa, mosiądz ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 33,36 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 33,36 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(25,31, 33,36) = 33,36 mm

Odpowiedź

d = 33,36 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 22,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 24·1,5 − 12·1,5·0,75 = 22,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 22,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 29,06 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1,5 + 8·4·2

R_B = 86,5/4 = 21,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 21,63 = 25,38 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 25,38·1,5 − 8·1,5·0,75 = 29,06 kN·m

Odpowiedź

M_x = 29,06 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: r = 83,45 mm

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.

Pole netto i moment bezwładności netto

A = π(D² − d²)/4 = 2966 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,065 × 10⁷ mm⁴

Promień bezwładności

r = √(I/A) = √(2,065 × 10⁷/2966) = 83,45 mm

Odpowiedź

r = 83,45 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 5,016 kN·m

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Środek ciężkości

ȳ = (3900·147,5 + 2800·70)/6700 = 115,1 mm

krawędź górna: c = 155 − 115,1 = 39,89 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 260·15³/12 + 3900·32,39² + 20·140³/12 + 2800·45,11² = 1,444 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment dodatni: góra jest ściskana, dół rozciągany.

krawędź górna: M = 150·1,444 × 10⁷/39,89 = 54,29 kN·m

krawędź dolna: M = 40·1,444 × 10⁷/115,1 = 5,016 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 5,016 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 5,016 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −30,13 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 20/40,31 = 0,4961, sin 2θ_s = −35/40,31 = −0,8682

2θ_s = atan2(−35, 20) = −60,26°

Kąt na elemencie

θ_s = −30,13°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −30,13 − 14,87 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −30,13°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_n = 78,46 MPa

Naprężenia w ściance

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2·250/6 = 83,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 41,67 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

σ_n = 41,67·sin²20° + 83,33·cos²20° = 78,46 MPa

Odpowiedź

σ_n = 78,46 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 1,489 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 1,489 mm

Odpowiedź

δ = 1,489 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 920,5 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·6000⁴/(384·11000·16,67) = 9,205 × 10⁸ mm⁴

I_req = 920,5 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 920,5 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 47,16 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2500 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2500² = 47164 N = 47,16 kN

Odpowiedź

P_cr = 47,16 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 38,86 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials