Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: mosiądz, średnica zewnętrzna 80 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 100 GPa). Oba mają długość 500 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 300 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 300 kNpręt: Ø30 mm, E = 200 GParura: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 115 kNodcinek 1: Ø35 mm, 1,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 2 m, mosiądz (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 30 kW przy 750 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 30 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 6 kN/m od 0 do 10 mx = 3 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

20 kN @ 6 m45 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 35 MPa przy rozciąganiu i 150 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 70 MPa, σᵧ = 20 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 130 MPa, σᵧ = 80 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 20° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 130 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 3,5 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 21 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 50 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 50 mm

h_req = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,3351 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·3063 = 4,477 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 300000·500/4,477 × 10⁸ = 0,3351 mm

Odpowiedź

δ = 0,3351 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 13,23 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 119,5 MPa

σ₂ = 572 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 119,5·1500/100000 = 1,793 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 572·2000/100000 = 11,44 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 13,23 mm

Odpowiedź

δ = 13,23 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 4,676 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·15708) = 0,08162 rad

φ = 0,08162·180/π = 4,676°

Odpowiedź

φ = 4,676°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 4,937 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·37,5/2,902 × 10⁶ = 4,937 MPa

Odpowiedź

τ_max = 4,937 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = 12 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 30 − 6·3 = 12 kN

Odpowiedź

V_x = 12 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 14 kN, R₂ = 51 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 14, M_C = 28, M_D = 42 kN·m, M_E = 11, M_F = −20, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 42 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 70,48 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

środnik: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·310 + 3600·150)/6800 = 225,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·20³/12 + 3200·(310 − 225,3)² = 2,307 × 10⁷ mm⁴

środnik: 12·300³/12 + 3600·(150 − 225,3)² = 4,741 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,307 × 10⁷ + 4,741 × 10⁷ = 7,048 × 10⁷ mm⁴ = 70,48 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 70,48 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 4,832 kN·m

Środek ciężkości

ȳ = (3600·115 + 800·50)/4400 = 103,2 mm

krawędź górna: c = 130 − 103,2 = 26,82 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 120·30³/12 + 3600·11,82² + 8·100³/12 + 800·53,18² = 3,702 × 10⁶ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 35·3,702 × 10⁶/26,82 = 4,832 kN·m

krawędź dolna: M = 150·3,702 × 10⁶/103,2 = 5,382 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 4,832 kN·m (krawędź górna)

Odpowiedź

M_allow = 4,832 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = −25,1 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 70 − 20) = −50,19°

Kąt na elemencie

θ_p = −25,1°

Odpowiedź

θ_p = −25,1°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 104,9 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 105 + 25·0,766 + 30·−0,6428 = 104,9 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 104,9 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 12,41 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 21000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 21000·3500²·2500²/(3·7,2 × 10¹²·6000) = 12,41 mm

Odpowiedź

δ_P = 12,41 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 187,4 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·9,722) = 2,741 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·2,741 × 10⁷/50)^1/3 = 187,4 mm

Odpowiedź

h_req = 187,4 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,18 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·6000 = 6000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,18 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 2,999 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2,999 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 2,999 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials