Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (stal) pod obciążeniem osiowym.

P = 35 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 25 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: mosiądz, średnica 60 mm, długość 300 mm, E = 100 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 60 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: mosiądz, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 500 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) o średnicy 60 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 100 N·m działa w B, w odległości 1,2 m od A, a moment 250 N·m o tym samym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 0,8 m dalej. Wyznacz wartość kąta skręcenia φ_C końca C w stopniach.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,2 mBC = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

35 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 9 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 50 kN w 5 mw = 3 kN/m od 0 do 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 30 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 30 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 70 MPa i σᵧ = 60 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 85 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 85 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −80 MPa, σᵧ = −40 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 25° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 55 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 55 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,6189 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/200000 = 0,0002476 = 247,6 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,0002476·2500 mm = 0,6189 mm

Odpowiedź

δ = 0,6189 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 17,56 MPa

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Sztywności

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 60000·942478/1,139 × 10⁶ = 49655 N

Naprężenie

σ₂ = 49655/2827 = 17,56 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 17,56 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 13,51 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(80000·79522) = 0,2358 rad

φ = 0,2358·180/π = 13,51°

Odpowiedź

φ = 13,51°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 0,349 °

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 100 = 350 N·m

Kąt skręcenia każdego odcinka

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 350000·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,004126 rad

φ_BC = 250000·800/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,001965 rad

Kąt skręcenia końca C

φ_C = 0,004126 + 0,001965 = 0,006091 rad → |φ_C| = 0,349°

Odpowiedź

φ_C = 0,349°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 65,5 kN, R₂ = 65,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 115, M_C = 198, M_D = 249 kN·m, M_E = 198, M_F = 115, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 249 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 38,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·5 + 3·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Przetnij w x = 9 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 40·9 − 50·(9 − 5) − 3·9·4,5 = 38,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 38,5 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 15,18 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

środnik: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187,5 + 1800·90)/4500 = 148,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 180·15³/12 + 2700·(187,5 − 148,5)² = 4,157 × 10⁶ mm⁴

środnik: 10·180³/12 + 1800·(90 − 148,5)² = 1,102 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,157 × 10⁶ + 1,102 × 10⁷ = 1,518 × 10⁷ mm⁴ = 15,18 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 15,18 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 47,15 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

środnik: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·287,5 + 5040·140)/7440 = 187,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·15³/12 + 2400·(287,5 − 187,6)² = 2,401 × 10⁷ mm⁴

środnik: 18·280³/12 + 5040·(140 − 187,6)² = 4,434 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,401 × 10⁷ + 4,434 × 10⁷ = 6,834 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 295 − 187,6 = 107,4 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·107,4/6,834 × 10⁷ = 47,15 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 47,15 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 19,36 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (70 + 60)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 85 − 65 = 20 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 5²) = 19,36 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 19,36 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = 41,03 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −−20·0,766 + 40·0,6428 = 41,03 MPa

Odpowiedź

τ_θ = 41,03 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 2,605 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 2,605 mm

Odpowiedź

δ_max = 2,605 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 36,16 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·3000⁴/(384·70000·8,333) = 3,616 × 10⁷ mm⁴

I_req = 36,16 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 36,16 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 14,62 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/3000² = 14622 N = 14,62 kN

Odpowiedź

P_cr = 14,62 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 36,12 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 36,12 mm

Odpowiedź

d = 36,12 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 110,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials