Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 40 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: aluminium, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 70 GPa). Oba mają długość 600 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 150 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 150 kNpręt: Ø40 mm, E = 200 GParura: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 25 kNodcinek 1: Ø40 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 50 kW przy 300 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 12 kN/m od 0 do 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 25 kN w 5 mw = 3 kN/m od 0 do 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Prostokątny przekrój skrzynkowy ma szerokość zewnętrzną B = 260 mm, wysokość zewnętrzną H = 325 mm i stałą grubość ścianek t = 12 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.

B = 260 mmH = 325 mmt = 12 mm

r = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 150 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 150 mmwycięcie: 50 × 50 mmśrodek otworu: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −60 MPa, σᵧ = 40 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 45° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 4,5 m od A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 11 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,1356 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 150000·600/6,637 × 10⁸ = 0,1356 mm

Odpowiedź

δ = 0,1356 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,9663 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19,89·2000/70000 = 0,5684 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 79,58·1000/200000 = 0,3979 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,9663 mm

Odpowiedź

δ = 0,9663 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 5,542 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Odpowiedź

φ = 5,542°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 54,53 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·50)) = 54,53 mm

Odpowiedź

d = 54,53 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 30 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 36·5 − 12·5·2,5 = 30 kN·m

Odpowiedź

M_x = 30 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 69,38 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·5 + 3·8·4

R_B = 221/8 = 27,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 27,63 = 21,38 kN

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 21,38·5 − 3·5·2,5 = 69,38 kN·m

Odpowiedź

M_x = 69,38 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: r = 124,1 mm

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.

Pole netto i moment bezwładności netto

b = 236 mm, h = 301 mm

A = BH − bh = 260·325 − 236·301 = 13464 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,074 × 10⁸ mm⁴

Promień bezwładności

r = √(I/A) = √(2,074 × 10⁸/13464) = 124,1 mm

Odpowiedź

r = 124,1 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 41,03 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (22500·75 − 2500·60)/(22500 − 2500) = 76,88 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,875² = 42,27 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·50³/12 + 2500·−16,88² = 1,233 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 41,03 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 41,03 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 70,71 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((0 − 100)/2)² + −50²) = 70,71 MPa

Odpowiedź

τ_max = 70,71 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = −50 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −−50·−1 + 50·0 = −50 MPa

Odpowiedź

τ_θ = −50 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 72,64 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 11000 N, a = 4500 mm, L = 6000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa³/(3EI) = 11000·4500³/(3·4,6 × 10¹²) = 72,64 mm

Odpowiedź

δ_P = 72,64 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 24 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·8000⁴/(384·200000·22,22) = 2,4 × 10⁷ mm⁴

I_req = 24 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 24 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 102,8 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·4000 = 4000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/4000² = 102808 N = 102,8 kN

Odpowiedź

P_cr = 102,8 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 49,35 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials