Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne
σ = F/A
Odkształcenie
ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a
σ = E·ε
Wydłużenie
ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne
εT = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne
τ = T·r/J
Wał pełny
J = πd⁴/32
Wał drążony
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia
φ = TL/(GJ)
Moc
P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

  1. Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
  2. Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
  3. Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
  4. Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek
C = (σx + σy)/2
Promień
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Naprężenia główne
σ1,2 = C ± R
Kierunek główny
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Płaszczyzna ukośna
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metoda

  1. Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
  2. Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
  4. Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni
P = ?12300 mm400 mmØ30Ø30δ = 0,3 mm

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: mosiądz, średnica 30 mm, długość 400 mm, E = 100 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,3 mm.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaodcinek 2: mosiądz, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny
P = ?Ø25120 GPaØ120/70400 mm

Pręt (materiał: stal, średnica 25 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 200 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 120 GPa, naprężenie dopuszczalne 70 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie Pmax.

pręt: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MParura: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.Skręcanie wałówŚredni
T = 100 N·md = 50 mmL = 1,5 mφ = ?

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Skręcanie wałówTrudny
d = 50 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 2 mb = 0,8 m

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 50 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 2 m od A i 0,8 m od B, przyłożono moment skręcający 2000 N·m. Wyznacz moment reakcji TA w ścianie A.

d = 50 mmT0 = 2000 N·ma = 2 mb = 0,8 m
TA = N·m
5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
40 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 5 m55 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 10 kN/mP = 45 kNABprzekrój2 m4 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 45 kN w 2 mw = 10 kN/m od 0 do 6 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
120130t = 10ȳ = ?wymiary w mm

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 120 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 130 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 10 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 120 mmh = 130 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
2801524012xM = 5 kN·mwymiary w mm

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 5 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σgóra na górnej krawędzi.

bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 240 mmM = 5 kN·m
σgóra = MPa
9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni
σx​ = 20σy​ = −50MPaτxy​ = ?

W punkcie σₓ = 20 MPa i σᵧ = −50 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τxy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 40 MPa?

σx = 20 MPaσy = −50 MPaσ1 = 40 MPa
τxy = MPa
10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny
σx​ = −20σy​ = −30τxy​ = 40MPa

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −20 MPa, σᵧ = −30 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σθ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 15° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σx = −20 MPaσy = −30 MPaτxy = 40 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Ugięcie belkiŚredni
w = 5 kN/mδL = 4 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Ugięcie belkiTrudny
w = 10 kN/mδL = 5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 3 m20 × 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 2,5 md = 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 38,56 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,3/7,781 × 10⁻⁶ = 38556 N = 38,56 kN

Odpowiedź

P = 38,56 kN
2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: Pmax = 579,6 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,001, 0,0005833) = 0,0005833 (miedź)

Największe obciążenie

Pmax = 0,0005833·9,935 × 10⁸ = 579558 N = 579,6 kN

Odpowiedź

Pmax = 579,6 kN
3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,5387 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·613592) = 0,009402 rad
φ = 0,009402·180/π = 0,5387°

Odpowiedź

φ = 0,5387°
4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: TA = 571,4 N·m

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko TA + TB = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·0,8/2,8 = 571,4 N·m
TB = 2000·2/2,8 = 1429 N·m

Odpowiedź

TA = 571,4 N·m
5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 34,17 kN, R2 = 60,83 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = 34,17, MC = 68,33, MD = 102,5 kN·m, ME = 81,67, MF = 60,83, MG = 0

Odpowiedź

Punkt D: MD = 102,5 kN·m
6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 100 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·2 + 10·6·3
RB = 270/6 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 45 = 60 kN
w = 10 kN/mP = 45 kNABRA​ = 60RB​ = 45przekrój2 m4 m

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 60·2 − 10·2·1 = 100 kN·m

Odpowiedź

Mx = 100 kN·m
7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 48,33 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A1 = 120·10 = 1200 mm², y1 = 5 mm
dwa ramiona: A2 = 2·10·120 = 2400 mm², y2 = 10 + 120/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1200·5 + 2400·70)/3600 = 48,33 mm

Odpowiedź

ȳ = 48,33 mm
8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σgóra = 7,122 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 240 + 15/2 = 247,5 mm
środnik: Aw = 12·240 = 2880 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·247,5 + 2880·120)/7080 = 195,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·15³/12 + 4200·(247,5 − 195,6)² = 1,138 × 10⁷ mm⁴
środnik: 12·240³/12 + 2880·(120 − 195,6)² = 3,03 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,138 × 10⁷ + 3,03 × 10⁷ = 4,168 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 255 − 195,6 = 59,36 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·59,36/4,168 × 10⁷ = 7,122 MPa

Odpowiedź

σgóra = 7,122 MPa
9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τxy = 42,43 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (20 + (−50))/2 = −15 MPa
R = σ1 − C = 40 − (−15) = 55 MPa
στxyCσ1​σ2​

Naprężenie styczne

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 35²) = 42,43 MPa

Odpowiedź

τxy = 42,43 MPa
10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σθ = −0,6699 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji

σθ = −25 + 5·0,866 + 40·0,5 = −0,6699 MPa

Odpowiedź

σθ = −0,6699 MPa
11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 12,63 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 12,63 mm

Odpowiedź

δmax = 12,63 mm
12.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 532,7 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·5000⁴/(384·11000·13,89) = 5,327 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 532,7 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 532,7 × 10⁶ mm⁴
13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 23,87 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2100² = 23872 N = 23,87 kN

Odpowiedź

Pcr = 23,87 kN
14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 11,05 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/10 = 250

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Odpowiedź

σcr = 11,05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials