Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (stal) pod obciążeniem osiowym.

P = 75 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 105 kNodcinek 1: Ø25 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Wał drążony ma przenosić moment skręcający 500 N·m. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,8 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 50 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 2,5 m od A i 1,2 m od B, przyłożono moment skręcający 200 N·m. Wyznacz kąt obrotu φ_C przekroju C w stopniach.

d = 50 mmT₀ = 200 N·ma = 2,5 mb = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

35 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 10 kN w 1 mw = 8 kN/m od 0 do 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 120 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 60 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 130 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmśrodek otworu: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 20 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 110 MPa, σᵧ = 120 MPa i τₓᵧ = −60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 25° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 110 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 3 m od A. Wyznacz ugięcie δ_B swobodnego końca B.

P = 4 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 115 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 115 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,7958 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/706,9 = 106,1 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 106,1/200000 = 0,0005305 = 530,5 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,0005305·1500 mm = 0,7958 mm

Odpowiedź

δ = 0,7958 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 928,4 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 928,4 MPa

Odpowiedź

σ_max = 928,4 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 38,6 mm

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0,5904)) = 38,6 mm

d_i = 0,8·38,6 = 30,88 mm

Odpowiedź

d_o = 38,6 mm

Wał pełny wymagałby d = 32,38 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 0,3883 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko T_A + T_B = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,2/3,7 = 64,86 N·m

T_B = 200·2,5/3,7 = 135,1 N·m

Obrót przekroju C

Użyj odcinka AC: jest utwierdzony w A i przenosi T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 64865·2500/(39000·613592) = 0,006776 rad = 0,3883°

Odpowiedź

φ_C = 0,3883°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 23,67 kN, R₂ = 35,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 21,67, M_C = 39,33, M_D = 53, M_E = 62,67 kN·m, M_F = 33,33, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 62,67 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 10,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1 + 8·4·2

R_B = 74/4 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 18,5 = 23,5 kN

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 23,5·0,5 − 8·0,5·0,25 = 10,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 10,75 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·100 − 2827·130)/(24000 − 2827) = 95,99 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·200³/12 + 24000·4,006² = 80,39 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·60⁴/64 + 2827·34,01² = 3,906 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 237,2 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

środnik: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·145 + 1960·70)/4560 = 112,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·10³/12 + 2600·(145 − 112,8)² = 2,724 × 10⁶ mm⁴

środnik: 14·140³/12 + 1960·(70 − 112,8)² = 6,786 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,724 × 10⁶ + 6,786 × 10⁶ = 9,509 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 112,8 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·112,8/9,509 × 10⁶ = 237,2 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 237,2 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −69,41 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = −40/53,15 = −0,7526, sin 2θ_s = −35/53,15 = −0,6585

2θ_s = atan2(−35, −40) = −138,8°

Kąt na elemencie

θ_s = −69,41°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −69,41 − (−24,41) = −45°

Odpowiedź

θ_s = −69,41°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 65,82 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 115 + −5·0,6428 + −60·0,766 = 65,82 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 65,82 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_B = 13,53 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 4000 N, a = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ugięcie swobodnego końca

Ugięcie pod siłą plus kąt obrotu pod siłą razy pozostała długość.

δ_P = Pa³/(3EI) = 9,023 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,004511 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 13,53 mm

Odpowiedź

δ_B = 13,53 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 83,71 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·5000⁴/(384·70000·13,89) = 8,371 × 10⁷ mm⁴

I_req = 83,71 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 83,71 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 4,828 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2800² = 4828 N = 4,828 kN

Odpowiedź

P_cr = 4,828 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 92,8 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 92,8 mm

Odpowiedź

d = 92,8 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 215,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials