Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 400 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: mosiądz, średnica 60 mm, długość 200 mm, E = 100 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,2 mm.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaodcinek 2: mosiądz, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 10 kNodcinek 1: Ø25 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 0,5 m, miedź (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 5 kW przy 300 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,7 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 5 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 12 kN/m od 0 do 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 10 mw = 16 kN/m od 0 do 7 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 180 × 16 mm, środnik o wysokości 270 mm i grubości 14 mm oraz półkę dolną 280 × 20 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 180 × 16 mmśrodnik: 14 × 270 mmpółka dolna: 280 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 50 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = −10 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 60 MPa, σᵧ = −80 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 20° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 1,5 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 18 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 56,55 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7,074 × 10⁻⁷ mm/N

Obciążenie

P = 0,2/3,537 × 10⁻⁶ = 56549 N = 56,55 kN

Odpowiedź

P = 56,55 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,8144 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 20,37 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,37·1500/70000 = 0,4365 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·500/117000 = 0,3779 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8144 mm

Odpowiedź

δ = 0,8144 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 8,979 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(26000·613592) = 0,1567 rad

φ = 0,1567·180/π = 8,979°

Odpowiedź

φ = 8,979°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 24,23 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·75·0,7599)) = 24,23 mm

d_i = 0,7·24,23 = 16,96 mm

Odpowiedź

d_o = 24,23 mm

Wał pełny wymagałby d = 22,11 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 31,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 30·1,5 − 12·1,5·0,75 = 31,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 31,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 165,6 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 16·7 = 112 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 16·7·3,5

R_B = 392/10 = 39,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 112 − 39,2 = 72,8 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 72,8/16 = 4,55 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 72,8·4,55 − 16·4,55²/2 = 165,6 kN·m

Odpowiedź

M_max = 165,6 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 34,83 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

środnik: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·230 + 3520·110)/5920 = 158,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·20³/12 + 2400·(230 − 158,6)² = 1,23 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·220³/12 + 3520·(110 − 158,6)² = 2,253 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,23 × 10⁷ + 2,253 × 10⁷ = 3,483 × 10⁷ mm⁴ = 34,83 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 34,83 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 186,8 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 2880 mm², y = 298 mm

środnik: A = 3780 mm², y = 155 mm

półka dolna: A = 5600 mm², y = 10 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2880·298 + 3780·155 + 5600·10)/12260 = 122,4 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 180·16³/12 + 2880·175,6² = 8,891 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·270³/12 + 3780·32,64² = 2,699 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 280·20³/12 + 5600·112,4² = 7,089 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,891 × 10⁷ + 2,699 × 10⁷ + 7,089 × 10⁷

I_x = 1,868 × 10⁸ mm⁴ = 186,8 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 186,8 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −55,9 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = −10/26,93 = −0,3714, sin 2θ_s = −25/26,93 = −0,9285

2θ_s = atan2(−25, −10) = −111,8°

Kąt na elemencie

θ_s = −55,9°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −55,9 − (−10,9) = −45°

Odpowiedź

θ_s = −55,9°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = 29,67 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −70·−0,6428 + −20·0,766 = 29,67 MPa

Odpowiedź

τ_θ = 29,67 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,044 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 1,044 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,044 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,971 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 18000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,971 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,971 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 131 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1500 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/1500² = 131010 N = 131 kN

Odpowiedź

P_cr = 131 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 111 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 111 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials