Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (stal), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 25 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 120 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 80 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 110 GPa, naprężenie dopuszczalne 60 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MParura: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) o długości 0,8 m przenosi moment skręcający 500 N·m. Kąt skręcenia między jego końcami nie może przekroczyć 1°. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia ten warunek.

T = 500 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (aluminium) o średnicy 50 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 2000 N·m działa w B, w odległości 2 m od A, a moment 500 N·m o tym samym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 2 m dalej. Wyznacz wartość kąta skręcenia φ_C końca C w stopniach.

d = 50 mmT_B = 2000 N·mT_C = 500 N·mAB = 2 mBC = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 4 kN/m od 0 do 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

45 kN @ 6 m15 kN @ 1 m12 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 50 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmM = 50 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 50 MPa, σᵧ = 80 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 20° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 6 mP = 35 kN w 3 m

R_B = kN

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 442,1 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/200000 = 0,0004421 = 442,1 µε

Odpowiedź

ε = 442,1 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 237,3 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·3063 = 4,351 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,0006, 0,0005455) = 0,0005455 (brąz)

Największe obciążenie

P_max = 0,0005455·4,351 × 10⁸ = 237333 N = 237,3 kN

Odpowiedź

P_max = 237,3 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 54,74 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Wymagany biegunowy moment bezwładności

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·800/(26000·0,01745) = 881474 mm⁴

Średnica

d = (32J/π)^1/4 = 54,74 mm

Odpowiedź

d = 54,74 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 21,55 °

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 2000 = 2500 N·m

Kąt skręcenia każdego odcinka

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 2,5 × 10⁶·2000/(26000·613592) = 0,3134 rad

φ_BC = 500000·2000/(26000·613592) = 0,06268 rad

Kąt skręcenia końca C

φ_C = 0,3134 + 0,06268 = 0,3761 rad → |φ_C| = 21,55°

Odpowiedź

φ_C = 21,55°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 30 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 16·3 − 4·3·1,5 = 30 kN·m

Odpowiedź

M_x = 30 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: F (x = 5 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 33 kN, R₂ = 87 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 27, M_C = 27, M_D = 15, M_E = −9, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt F: M_F = −45 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 23,96 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

środnik: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·185 + 3600·90)/6400 = 131,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·10³/12 + 2800·(185 − 131,6)² = 8,019 × 10⁶ mm⁴

środnik: 20·180³/12 + 3600·(90 − 131,6)² = 1,594 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,019 × 10⁶ + 1,594 × 10⁷ = 2,396 × 10⁷ mm⁴ = 23,96 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 23,96 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 374,3 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

środnik: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·107,5 + 800·50)/3500 = 94,36 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 180·15³/12 + 2700·(107,5 − 94,36)² = 517009 mm⁴

środnik: 8·100³/12 + 800·(50 − 94,36)² = 2,241 × 10⁶ mm⁴

I_x = 517009 + 2,241 × 10⁶ = 2,758 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 115 − 94,36 = 20,64 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·20,64/2,758 × 10⁶ = 374,3 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 374,3 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −4,731 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 60/60,83 = 0,9864, sin 2θ_s = −10/60,83 = −0,1644

2θ_s = atan2(−10, 60) = −9,462°

Kąt na elemencie

θ_s = −4,731°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −4,731 − 40,27 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −4,731°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 85,65 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 65 + −15·0,766 + 50·0,6428 = 85,65 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 85,65 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 47,94 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·1,32 × 10¹¹) = 47,94 mm

Odpowiedź

δ = 47,94 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 10,94 kN

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Odpowiedź

R_B = 10,94 kN

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 67,29 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/750² = 67288 N = 67,29 kN

Odpowiedź

P_cr = 67,29 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 31,58 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials