Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (stal), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 400 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: miedź, średnica 60 mm, długość 300 mm, E = 120 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 40 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) o średnicy 40 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 0,5 m od A i 1,5 m od B, przyłożono moment skręcający 200 N·m. Wyznacz kąt obrotu φ_C przekroju C w stopniach.

d = 40 mmT₀ = 200 N·ma = 0,5 mb = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 5 kN/m od 0 do 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

10 kN @ 6 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 25 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −10 MPa i σᵧ = 10 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 45 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 45 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 60 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Granica plastyczności materiału wynosi 300 MPa. Wyznacz współczynnik bezpieczeństwa n względem uplastycznienia według hipotezy Tresci (maksymalnego naprężenia stycznego).

σ_x = −40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 4 kNw = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 6685 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1337/200000 = 0,006685 = 6685 µε

Odpowiedź

ε = 6685 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 12,42 MPa

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Sztywności

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 40000·1,131 × 10⁶/1,288 × 10⁶ = 35122 N

Naprężenie

σ₂ = 35122/2827 = 12,42 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 12,42 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 3,648 °

Biegunowy moment bezwładności

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·15708) = 0,06366 rad

φ = 0,06366·180/π = 3,648°

Odpowiedź

φ = 3,648°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 0,2137 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko T_A + T_B = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,5/2 = 150 N·m

T_B = 200·0,5/2 = 50 N·m

Obrót przekroju C

Użyj odcinka AC: jest utwierdzony w A i przenosi T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 150000·500/(80000·251327) = 0,00373 rad = 0,2137°

Odpowiedź

φ_C = 0,2137°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 4,375 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 10·0,5 − 5·0,5·0,25 = 4,375 kN·m

Odpowiedź

M_x = 4,375 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 10 kN, R₂ = 60 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 10, M_C = 20, M_D = 30 kN·m, M_E = −20, M_F = −10, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 30 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 55,49 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

środnik: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·290 + 2800·140)/6800 = 228,2 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·20³/12 + 4000·(290 − 228,2)² = 1,539 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·280³/12 + 2800·(140 − 228,2)² = 4,009 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,539 × 10⁷ + 4,009 × 10⁷ = 5,549 × 10⁷ mm⁴ = 55,49 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 55,49 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 60,3 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·247,5 + 1920·120)/4320 = 190,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·15³/12 + 2400·(247,5 − 190,8)² = 7,752 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·240³/12 + 1920·(120 − 190,8)² = 1,885 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,752 × 10⁶ + 1,885 × 10⁷ = 2,66 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 255 − 190,8 = 64,17 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·64,17/2,66 × 10⁷ = 60,3 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 60,3 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 43,87 MPa

Wymagany promień

C = (−10 + 10)/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 45 − 0 = 45 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 10²) = 43,87 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 43,87 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: n = 2,785

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 10 MPa, R = 53,85 MPa

σ₁ = 63,85 MPa, σ₂ = −43,85 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 107,7 MPa

n = 300/107,7 = 2,785

Odpowiedź

n = 2,785

n > 1 oznacza, że punkt się nie uplastycznia; hipoteza Tresci jest nieco bardziej zachowawcza niż hipoteza Hubera-Misesa.

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 14,53 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 14,53 mm

Odpowiedź

δ_max = 14,53 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 12,87 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 4000 N, w = 12 N/mm, L = 5000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·5000³/(48·8,4 × 10¹²) = 1,24 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 11,63 mm

Dodaj

δ_max = 1,24 + 11,63 = 12,87 mm

Odpowiedź

δ_max = 12,87 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 10,53 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2500 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2500² = 10528 N = 10,53 kN

Odpowiedź

P_cr = 10,53 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 27,76 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials