Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: miedź, średnica 50 mm, długość 400 mm, E = 120 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,2 mm.

odcinek 1: stal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 115 kNodcinek 1: Ø30 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 1 m, mosiądz (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 500 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 30 kW przy 3000 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,6 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 30 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

35 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 8 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 30 kN w 1 mw = 4 kN/m od 0 do 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 160 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 150 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 14 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 160 mmh = 150 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 35 MPa przy rozciąganiu i 120 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy dodatni moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 800 mm i grubości ścianki 12 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 1,2 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 25° do osi walca. Wyznacz naprężenie normalne σ_n działające w poprzek spoiny.

D = 800 mmt = 12 mmp = 1,2 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 125 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 125 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 69,17 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1,698 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,2/2,891 × 10⁻⁶ = 69173 N = 69,17 kN

Odpowiedź

P = 69,17 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 572 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 162,7 MPa

σ₂ = 572 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 572 MPa

Odpowiedź

σ_max = 572 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 1,437 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·613592) = 0,02507 rad

φ = 0,02507·180/π = 1,437°

Odpowiedź

φ = 1,437°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 22,36 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·50·0,8704)) = 22,36 mm

d_i = 0,6·22,36 = 13,41 mm

Odpowiedź

d_o = 22,36 mm

Wał pełny wymagałby d = 21,35 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 29,67 kN, R₂ = 41,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 26,67, M_C = 47,33, M_D = 62, M_E = 70,67 kN·m, M_F = 38,33, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 70,67 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 38 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·1 + 4·10·5

R_B = 230/10 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 23 = 47 kN

Przetnij w x = 8 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 47·8 − 30·(8 − 1) − 4·8·4 = 38 kN·m

Odpowiedź

M_x = 38 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 54,22 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 160·14 = 2240 mm², y₁ = 7 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·14·136 = 3808 mm², y₂ = 14 + 136/2 = 82 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2240·7 + 3808·82)/6048 = 54,22 mm

Odpowiedź

ȳ = 54,22 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 6,534 kN·m

Środek ciężkości

ȳ = (4400·190 + 3240·90)/7640 = 147,6 mm

krawędź górna: c = 200 − 147,6 = 52,41 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 220·20³/12 + 4400·42,41² + 18·180³/12 + 3240·57,59² = 2,755 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment dodatni: góra jest ściskana, dół rozciągany.

krawędź górna: M = 120·2,755 × 10⁷/52,41 = 63,09 kN·m

krawędź dolna: M = 35·2,755 × 10⁷/147,6 = 6,534 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 6,534 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 6,534 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = 20,59 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 40/53,15 = 0,7526, sin 2θ_s = −(−35)/53,15 = 0,6585

2θ_s = atan2(35, 40) = 41,19°

Kąt na elemencie

θ_s = 20,59°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = 20,59 − 65,59 = −45°

Odpowiedź

θ_s = 20,59°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_n = 36,43 MPa

Naprężenia w ściance

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,2·400/12 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

σ_n = 20·sin²25° + 40·cos²25° = 36,43 MPa

Odpowiedź

σ_n = 36,43 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 9,524 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 9,524 mm

Odpowiedź

δ = 9,524 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 34,29 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·4000⁴/(384·70000·11,11) = 3,429 × 10⁷ mm⁴

I_req = 34,29 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 34,29 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 44,98 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1000 = 1000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1000² = 44979 N = 44,98 kN

Odpowiedź

P_cr = 44,98 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 62,73 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,73 mm

Odpowiedź

d = 62,73 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 127,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials