Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (aluminium) pod obciążeniem osiowym.

P = 20 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 115 kNodcinek 1: Ø30 mm, 0,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 2 m, miedź (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (stal) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 50 mm i długość 2 m; odcinek BC ma średnicę 40 mm i długość 3 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 100 N·m. Wyznacz kąt skręcenia φ_C końca C w stopniach.

T = 100 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 40 mm, L₂ = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 10 kW przy 300 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,6 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 40 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 10 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 5 kN/m od 0 do 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

15 kN @ 12 m60 kN @ 2 m10 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 40 mm i wysokości 20 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 140 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 200 mmwycięcie: 40 × 20 mmśrodek otworu: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 20° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 150 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 22 kNw = 6 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (stal)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 2,5 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 12 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 1,421 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/70000 = 0,001421 = 1421 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,001421·1000 mm = 1,421 mm

Odpowiedź

δ = 1,421 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 572 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 162,7 MPa

σ₂ = 572 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 572 MPa

Odpowiedź

σ_max = 572 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 1,088 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowe momenty bezwładności

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia każdego odcinka

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·2000/(80000·613592) = 0,004074 rad

φ_BC = 100000·3000/(80000·251327) = 0,01492 rad

Całkowity kąt skręcenia

φ_C = 0,004074 + 0,01492 = 0,019 rad = 1,088°

Odpowiedź

φ_C = 1,088°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 35,98 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·40·0,8704)) = 35,98 mm

d_i = 0,6·35,98 = 21,59 mm

Odpowiedź

d_o = 35,98 mm

Wał pełny wymagałby d = 34,35 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 12,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 15·5 − 5·5·2,5 = 12,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 12,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 2 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 77,5 kN, R₂ = 77,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 135 kN·m, M_C = 110, M_D = 45, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = 135 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 25,7 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

środnik: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·215 + 2000·100)/6800 = 181,2 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·30³/12 + 4800·(215 − 181,2)² = 5,851 × 10⁶ mm⁴

środnik: 10·200³/12 + 2000·(100 − 181,2)² = 1,985 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,851 × 10⁶ + 1,985 × 10⁷ = 2,57 × 10⁷ mm⁴ = 25,7 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 25,7 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 78,65 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·100 − 800·140)/(24000 − 800) = 98,62 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·200³/12 + 24000·1,379² = 80,05 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

40·20³/12 + 800·41,38² = 1,396 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 78,65 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 78,65 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 52,2 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((30 − 60)/2)² + 50²) = 52,2 MPa

Odpowiedź

τ_max = 52,2 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 143,5 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 40 + 110·0,766 + −30·−0,6428 = 143,5 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 143,5 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 3,965 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 22000 N, w = 6 N/mm, L = 1500 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 22000·1500³/(3·7,2 × 10¹²) = 3,438 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 0,5273 mm

Dodaj

δ = 3,438 + 0,5273 = 3,965 mm

Odpowiedź

δ = 3,965 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 3,098 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 12000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,098 mm

Odpowiedź

δ_max = 3,098 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 3,312 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Odpowiedź

P_cr = 3,312 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 17,27 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials