Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (mosiądz), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 45 kNodcinek 1: Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) przenosi moc 30 kW przy 500 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 80 MPa, a kąt skręcenia 1° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 12 kN/m od 0 do 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

45 kN @ 12 m55 kN @ 4 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 260 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 130 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 12 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 260 mmh = 130 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 30 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 140 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 200 mmwycięcie: 50 × 30 mmśrodek otworu: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 160 MPa, σᵧ = 120 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 20 MPa, σᵧ = 40 MPa i τₓᵧ = −10 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 45° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 3024 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 95·1000/314,2 = 302,4 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 302,4/100000 = 0,003024 = 3024 µε

Odpowiedź

ε = 3024 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,366 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 35,81 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 35,81·1500/70000 = 0,7674 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 223,8·500/70000 = 1,599 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,366 mm

Odpowiedź

δ = 2,366 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,431 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(26000·613592) = 0,007522 rad

φ = 0,007522·180/π = 0,431°

Odpowiedź

φ = 0,431°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 54,11 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·80)) = 33,16 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 54,11 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(33,16, 54,11) = 54,11 mm

Odpowiedź

d = 54,11 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 40,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 36·1,5 − 12·1,5·0,75 = 40,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 40,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 21 kN, R₂ = 111 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 34, M_C = 52, M_D = −56, M_E = −180 kN·m, M_F = −90, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = −180 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 36,93 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 260·12 = 3120 mm², y₁ = 6 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·12·118 = 2832 mm², y₂ = 12 + 118/2 = 71 mm

Środek ciężkości

ȳ = (3120·6 + 2832·71)/5952 = 36,93 mm

Odpowiedź

ȳ = 36,93 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 77,33 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·100 − 1500·140)/(24000 − 1500) = 97,33 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·200³/12 + 24000·2,667² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·30³/12 + 1500·42,67² = 2,843 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 77,33 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 77,33 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 63,25 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((160 − 120)/2)² + 60²) = 63,25 MPa

Odpowiedź

τ_max = 63,25 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 20 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 30 + −10·0 + −10·1 = 20 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 20 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 3,275 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 3,275 mm

Odpowiedź

δ_max = 3,275 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 1,465 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2500⁴/(384·200000·6,944) = 1,465 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,465 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 1,465 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 23,39 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1500² = 23395 N = 23,39 kN

Odpowiedź

P_cr = 23,39 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 27,76 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials