Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (aluminium) pod obciążeniem osiowym.

P = 60 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 200 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: mosiądz, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 100 GPa, naprężenie dopuszczalne 70 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MParura: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (stal) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 25 mm i długość 3 m; odcinek BC ma średnicę 20 mm i długość 0,8 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 100 N·m. Wyznacz kąt skręcenia φ_C końca C w stopniach.

T = 100 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 3 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 50 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 2000 N·m działa w B, w odległości 2,5 m od A, a moment 750 N·m o przeciwnym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 2,5 m dalej. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

d = 50 mmT_B = 2000 N·mT_C = 750 N·mAB = 2,5 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 5,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 5 kN/m od 0 do 10 mx = 5,5 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 40 kN w 3 mw = 5 kN/m od 0 do 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 120 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 10 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 10 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 0 MPa, σᵧ = 50 MPa i τₓᵧ = −10 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 35° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = 0 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 800 mm i grubości ścianki 6 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 2,5 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 35° do osi walca. Wyznacz wartość naprężenia stycznego |τ_n| działającego wzdłuż spoiny.

D = 800 mmt = 6 mmp = 2,5 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 30 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 30 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 1,819 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/70000 = 0,001213 = 1213 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,001213·1500 mm = 1,819 mm

Odpowiedź

δ = 1,819 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 379,3 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,001, 0,0007) = 0,0007 (mosiądz)

Największe obciążenie

P_max = 0,0007·5,419 × 10⁸ = 379347 N = 379,3 kN

Odpowiedź

P_max = 379,3 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 9,25 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowe momenty bezwładności

J₁ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kąt skręcenia każdego odcinka

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·3000/(80000·38350) = 0,09778 rad

φ_BC = 100000·800/(80000·15708) = 0,06366 rad

Całkowity kąt skręcenia

φ_C = 0,09778 + 0,06366 = 0,1614 rad = 9,25°

Odpowiedź

φ_C = 9,25°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 50,93 MPa

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 2000 = −1250 N·m

Maksymalne naprężenie styczne

Największe naprężenie ma odcinek z największym momentem wewnętrznym (ta sama średnica).

|T|_max = 1250 N·m

τ_max = 16·1,25 × 10⁶/(π·50³) = 50,93 MPa

Odpowiedź

τ_max = 50,93 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −2,5 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Przetnij w x = 5,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 25 − 5·5,5 = −2,5 kN

Odpowiedź

V_x = −2,5 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 9,375 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 5·4·2

R_B = 160/4 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 40 = 20 kN

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 20·0,5 − 5·0,5·0,25 = 9,375 kN·m

Odpowiedź

M_x = 9,375 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·100 − 1963·60)/(24000 − 1963) = 103,6 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·200³/12 + 24000·−3,564² = 80,3 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−43,56² = 4,033 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 51,27 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

środnik: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·167,5 + 2240·80)/3740 = 115,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·15³/12 + 1500·(167,5 − 115,1)² = 4,148 × 10⁶ mm⁴

środnik: 14·160³/12 + 2240·(80 − 115,1)² = 7,537 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,148 × 10⁶ + 7,537 × 10⁶ = 1,169 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 175 − 115,1 = 59,91 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·59,91/1,169 × 10⁷ = 51,27 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 51,27 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = 42,95 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = 25 − (−25)·0,342 − (−10)·0,9397 = 42,95 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = 7,053 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = 42,95 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: |τ_n| = 39,15 MPa

Naprężenia w ściance

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2,5·400/6 = 166,7 MPa

σ_a = pr/(2t) = 83,33 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

|τ_n| = (166,7 − 83,33)·sin 35°·cos 35° = 39,15 MPa

Odpowiedź

|τ_n| = 39,15 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,008466 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 8·4000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,008466 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,008466 rad

To 0,485°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 1,582 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·1500⁴/(384·200000·4,167) = 1,582 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,582 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 1,582 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 4,922 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4200² = 4922 N = 4,922 kN

Odpowiedź

P_cr = 4,922 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 63,17 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 63,17 mm

Odpowiedź

d = 63,17 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 190, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials