Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (aluminium), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: mosiądz, średnica 40 mm, długość 300 mm, E = 100 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 20 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: mosiądz, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

W próbie skręcania pełna próbka o średnicy 12 mm jest skręcana momentem 40 N·m. Końce odcinka pomiarowego o długości 250 mm obracają się względem siebie o 3,52° (materiał jest jeszcze w zakresie sprężystym). Wyznacz moduł sprężystości postaciowej G materiału.

T = 40 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 3,52°

G = GPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 20 kW przy 1000 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 60 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 25 kN w 4 mw = 3 kN/m od 0 do 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 280 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 200 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 14 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 280 mmh = 200 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 15 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −30 MPa, σᵧ = −50 MPa i τₓᵧ = −10 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −70 MPa, σᵧ = 80 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 50° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 12 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 2842 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/201,1 = 198,9 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 198,9/70000 = 0,002842 = 2842 µε

Odpowiedź

ε = 2842 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 12,24 MPa

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Sztywności

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 20000·418879/544543 = 15385 N

Naprężenie

σ₂ = 15385/1257 = 12,24 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 12,24 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: G = 79,96 GPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności i kąt

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 3,52·π/180 = 0,06144 rad

Moduł sprężystości poprzecznej

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(2036·0,06144) = 79957 MPa

G = 79,96 GPa

Odpowiedź

G = 79,96 GPa

Porównaj: stal ≈ 80 GPa, mosiądz ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 25,31 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Odpowiedź

d = 25,31 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 43,33 kN, R₂ = 56,67 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 76,67, M_C = 133,3, M_D = 170, M_E = 186,7 kN·m, M_F = 103,3, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 186,7 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 13,38 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·4 + 3·5·2,5

R_B = 137,5/5 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 27,5 = 12,5 kN

Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 12,5·4,5 − 25·(4,5 − 4) − 3·4,5·2,25 = 13,38 kN·m

Odpowiedź

M_x = 13,38 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 64,06 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 280·14 = 3920 mm², y₁ = 7 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·14·186 = 5208 mm², y₂ = 14 + 186/2 = 107 mm

Środek ciężkości

ȳ = (3920·7 + 5208·107)/9128 = 64,06 mm

Odpowiedź

ȳ = 64,06 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 21,32 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·247,5 + 4800·120)/8400 = 174,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 240·15³/12 + 3600·(247,5 − 174,6)² = 1,918 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·240³/12 + 4800·(120 − 174,6)² = 3,737 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,918 × 10⁷ + 3,737 × 10⁷ = 5,655 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 255 − 174,6 = 80,36 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·80,36/5,655 × 10⁷ = 21,32 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 21,32 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −67,5 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = −10/14,14 = −0,7071, sin 2θ_s = −10/14,14 = −0,7071

2θ_s = atan2(−10, −10) = −135°

Kąt na elemencie

θ_s = −67,5°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −67,5 − (−22,5) = −45°

Odpowiedź

θ_s = −67,5°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −31,22 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 5 + −75·−0,1736 + −50·0,9848 = −31,22 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −31,22 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,002283 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 15·1500³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,002283 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,002283 rad

To 0,1308°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 2,182 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 12000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·1500³/(48·8,4 × 10¹¹) = 1,004 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 1,177 mm

Dodaj

δ_max = 1,004 + 1,177 = 2,182 mm

Odpowiedź

δ_max = 2,182 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 8,721 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1500 = 3000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Odpowiedź

P_cr = 8,721 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 12,69 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 12,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials