Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (stal) pod obciążeniem osiowym.

P = 115 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 45 kNodcinek 1: Ø30 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Drążony wał (aluminium) (średnica zewnętrzna 50 mm, wewnętrzna 25 mm, długość 0,8 m) jest utwierdzony na jednym końcu i skręcany momentem 2000 N·m na drugim. Wyznacz kąt skręcenia φ w stopniach.

T = 2000 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 40 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 2000 N·m działa w B, w odległości 1 m od A, a moment 1000 N·m o przeciwnym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 2 m dalej. Wyznacz wartość kąta skręcenia φ_C końca C w stopniach.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 1000 N·mAB = 1 mBC = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 12 kN/m od 0 do 4 mx = 2,5 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP = 30 kN w 4 mw = 2 kN/m od 0 do 6 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 140 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 130 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 8 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 140 mmh = 130 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 20 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmM = 20 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 30° zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = −60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 30 MPa, σᵧ = −70 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 60° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 100 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/250. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 1,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 100 mm

h_req = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 35 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 35 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 1,83 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 115·1000/314,2 = 366,1 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 366,1/200000 = 0,00183 = 1830 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,00183·1000 mm = 1,83 mm

Odpowiedź

δ = 1,83 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,979 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1000/70000 = 0,9095 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·1500/70000 = 3,069 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,979 mm

Odpowiedź

δ = 3,979 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 6,129 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Kąt skręcenia

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·800/(26000·575243) = 0,107 rad

φ = 0,107·180/π = 6,129°

Odpowiedź

φ = 6,129°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 5,845 °

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 2000 = −1000 N·m

Kąt skręcenia każdego odcinka

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −1 × 10⁶·1000/(39000·251327) = −0,102 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·2000/(39000·251327) = 0,204 rad

Kąt skręcenia końca C

φ_C = −0,102 + 0,204 = 0,102 rad → |φ_C| = 5,845°

Odpowiedź

φ_C = 5,845°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −6 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Przetnij w x = 2,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 24 − 12·2,5 = −6 kN

Odpowiedź

V_x = −6 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 48 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4 + 2·6·3

R_B = 156/6 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 26 = 16 kN

Gdzie V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 8 kN

V(4⁺) = 8 − 30 = −22 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 16·4 − 2·4²/2 = 48 kN·m

Odpowiedź

M_max = 48 kN·m

Występuje w x = 4 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 45,3 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 140·8 = 1120 mm², y₁ = 4 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·8·122 = 1952 mm², y₂ = 8 + 122/2 = 69 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1120·4 + 1952·69)/3072 = 45,3 mm

Odpowiedź

ȳ = 45,3 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 171,8 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

środnik: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·105 + 800·50)/2800 = 89,29 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·10³/12 + 2000·(105 − 89,29)² = 510544 mm⁴

środnik: 8·100³/12 + 800·(50 − 89,29)² = 1,901 × 10⁶ mm⁴

I_x = 510544 + 1,901 × 10⁶ = 2,412 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 110 − 89,29 = 20,71 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·20,71/2,412 × 10⁶ = 171,8 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 171,8 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = −58,3 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = −30 − (−30)·0,5 − (−50)·(−0,866) = −58,3 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = −1,699 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −60 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = −58,3 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −62,32 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −20 + 50·−0,5 + −20·0,866 = −62,32 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −62,32 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 11,3 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 11,3 mm

Odpowiedź

δ = 11,3 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 225,8 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·6000⁴/(384·11000·24) = 9,588 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·9,588 × 10⁷/100)^1/3 = 225,8 mm

Odpowiedź

h_req = 225,8 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 17,58 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·2500 = 5000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17,58 kN

Odpowiedź

P_cr = 17,58 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 98,17 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 98,17 mm

Odpowiedź

d = 98,17 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 244,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials