Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (miedź) pod obciążeniem osiowym.

P = 45 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 85 kNodcinek 1: Ø40 mm, 0,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 0,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) o długości 0,5 m przenosi moment skręcający 250 N·m. Kąt skręcenia między jego końcami nie może przekroczyć 2°. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia ten warunek.

T = 250 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 30 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 400 N·m działa w B, w odległości 1 m od A, a moment 100 N·m o przeciwnym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 1,2 m dalej. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

d = 30 mmT_B = 400 N·mT_C = 100 N·mAB = 1 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 10 kN/m od 0 do 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 55 kN w 3,5 mw = 12 kN/m od 0 do 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 100 × 14 mm, środnik o wysokości 220 mm i grubości 14 mm oraz półkę dolną 200 × 24 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 100 × 14 mmśrodnik: 14 × 220 mmpółka dolna: 200 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −40 MPa i τₓᵧ = −20 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = 10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 40° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. EI jest stałe. Wyznacz wartość momentu zginającego M_A w utwierdzeniu.

L = 3 mw = 8 kN/m

M_A = kN·m

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 150 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 150 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,401 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113,1 = 397,9 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/117000 = 0,003401 = 3401 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,003401·1000 mm = 3,401 mm

Odpowiedź

δ = 3,401 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 4,096 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,64·500/100000 = 0,3382 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·500/100000 = 3,758 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,096 mm

Odpowiedź

δ = 4,096 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 25,99 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Wymagany biegunowy moment bezwładności

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·500/(80000·0,03491) = 44762 mm⁴

Średnica

d = (32J/π)^1/4 = 25,99 mm

Odpowiedź

d = 25,99 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 56,59 MPa

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 400 = −300 N·m

Maksymalne naprężenie styczne

Największe naprężenie ma odcinek z największym momentem wewnętrznym (ta sama średnica).

|T|_max = 300 N·m

τ_max = 16·300000/(π·30³) = 56,59 MPa

Odpowiedź

τ_max = 56,59 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 13,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Przetnij w x = 5,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 30·5,5 − 10·5,5·2,75 = 13,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 13,75 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 132,7 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3,5 + 12·6·3

R_B = 408,5/6 = 68,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 127 − 68,08 = 58,92 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 58,92·3,5 − 12·3,5·1,75 = 132,7 kN·m

Odpowiedź

M_x = 132,7 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 6,934 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

środnik: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·145 + 1960·70)/2960 = 95,34 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·10³/12 + 1000·(145 − 95,34)² = 2,475 × 10⁶ mm⁴

środnik: 14·140³/12 + 1960·(70 − 95,34)² = 4,46 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,475 × 10⁶ + 4,46 × 10⁶ = 6,934 × 10⁶ mm⁴ = 6,934 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 6,934 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 84,11 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 1400 mm², y = 251 mm

środnik: A = 3080 mm², y = 134 mm

półka dolna: A = 4800 mm², y = 12 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1400·251 + 3080·134 + 4800·12)/9280 = 88,55 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 100·14³/12 + 1400·162,5² = 3,697 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·220³/12 + 3080·45,45² = 1,879 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 200·24³/12 + 4800·76,55² = 2,836 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,697 × 10⁷ + 1,879 × 10⁷ + 2,836 × 10⁷

I_x = 8,411 × 10⁷ mm⁴ = 84,11 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 84,11 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 32,02 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = −15 MPa, R = √(25² + (−20)²) = 32,02 MPa

σ₁ = 17,02 MPa, σ₂ = −47,02 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(64,03, 17,02, 47,02)/2 = 32,02 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 32,02 MPa

Tutaj σ₁ i σ₂ mają przeciwne znaki, więc maksimum w płaszczyźnie R jest też maksimum bezwzględnym.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 33,37 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −15 + −5·0,1736 + 50·0,9848 = 33,37 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 33,37 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 6,318 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 6,318 mm

Odpowiedź

δ_max = 6,318 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: M_A = 9 kN·m

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN

Moment w utwierdzeniu

Momenty obciążeń i reakcji podpory względem A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 36 − 27 = 9 kN·m

Odpowiedź

M_A = 9 kN·m

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 48,83 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/750² = 48835 N = 48,83 kN

Odpowiedź

P_cr = 48,83 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 101 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 101 mm

Odpowiedź

d = 101 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 110,9, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials