Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (stal), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 75 kNodcinek 1: Ø40 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1,5 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 75 kW przy 750 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 5,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 6 kN/m od 0 do 10 mx = 5,5 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 35 kN w 3,5 mw = 6 kN/m od 0 do 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Rura okrągła ma średnicę zewnętrzną D = 170 mm i średnicę wewnętrzną d = 150 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.

D = 170 mmd = 150 mm

r = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 20 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −30 MPa i σᵧ = 0 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 25 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 25 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 40 mm przenosi osiową siłę rozciągającą 110 kN wraz z momentem skręcającym 750 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 40 mmF = 110 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 6 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 20 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 20 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 2228 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 445,6/200000 = 0,002228 = 2228 µε

Odpowiedź

ε = 2228 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 6,679 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 59,68 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 59,68·2000/70000 = 1,705 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 663,1·1500/200000 = 4,974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,679 mm

Odpowiedź

δ = 6,679 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 3,562 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·251327) = 0,06217 rad

φ = 0,06217·180/π = 3,562°

Odpowiedź

φ = 3,562°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 44,7 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/534071 = 44,7 MPa

Odpowiedź

τ_max = 44,7 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −3 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Przetnij w x = 5,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 30 − 6·5,5 = −3 kN

Odpowiedź

V_x = −3 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 77,29 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3,5 + 6·6·3

R_B = 230,5/6 = 38,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 71 − 38,42 = 32,58 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 32,58·3,5 − 6·3,5·1,75 = 77,29 kN·m

Odpowiedź

M_x = 77,29 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: r = 56,68 mm

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.

Pole netto i moment bezwładności netto

A = π(D² − d²)/4 = 5027 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,615 × 10⁷ mm⁴

Promień bezwładności

r = √(I/A) = √(1,615 × 10⁷/5027) = 56,68 mm

Odpowiedź

r = 56,68 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 41,85 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

środnik: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·250 + 2400·120)/5200 = 190 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·20³/12 + 2800·(250 − 190)² = 1,017 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·240³/12 + 2400·(120 − 190)² = 2,328 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,017 × 10⁷ + 2,328 × 10⁷ = 3,345 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 260 − 190 = 70 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·70/3,345 × 10⁷ = 41,85 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 41,85 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 37,08 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (−30 + 0)/2 = −15 MPa

R = σ₁ − C = 25 − (−15) = 40 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 15²) = 37,08 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 37,08 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 117,8 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = 110000/(π·40²/4) = 110000/1257 = 87,54 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = 43,77 MPa

R = √(43,77² + 59,68²) = 74,01 MPa

σ₁ = C + R = 117,8 MPa

σ₂ = C − R = −30,24 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 117,8 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 63,8 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 63,8 mm

Odpowiedź

δ = 63,8 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 22,5 kN

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22,5 kN

Odpowiedź

R_B = 22,5 kN

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 38,55 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2000² = 38553 N = 38,55 kN

Odpowiedź

P_cr = 38,55 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 43,9 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 43,9 mm

Odpowiedź

d = 43,9 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 273,3, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials