Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (mosiądz), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 25 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 10 kNodcinek 1: Ø35 mm, 2 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, stal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) o długości 1,5 m przenosi moment skręcający 2000 N·m. Kąt skręcenia między jego końcami nie może przekroczyć 1°. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia ten warunek.

T = 2000 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 5 kW przy 1800 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 20 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 2,5 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mM₀ = 20 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 2,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 60 kN w 1 mw = 6 kN/m od 0 do 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 150 mm × 150 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 10 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 0 MPa, σᵧ = −70 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 45° zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = 0 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 20° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 150 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 2037 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/100000 = 0,002037 = 2037 µε

Odpowiedź

ε = 2037 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 31,83 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 10,39 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 31,83 MPa

Odpowiedź

σ_max = 31,83 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 68,4 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Wymagany biegunowy moment bezwładności

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·1500/(80000·0,01745) = 2,149 × 10⁶ mm⁴

Średnica

d = (32J/π)^1/4 = 68,4 mm

Odpowiedź

d = 68,4 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 12,17 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·75)) = 12,17 mm

Odpowiedź

d = 12,17 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 7,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/4 = 5 kN (w górę)

R_A = −R_B = −5 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz R_A i moment skupiony.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·2,5 + 20 = 7,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 7,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 64 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 6·6·3

R_B = 168/6 = 28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 28 = 68 kN

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 68·2 − 60·(2 − 1) − 6·2·1 = 64 kN·m

Odpowiedź

M_x = 64 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (22500·75 − 1963·60)/(22500 − 1963) = 76,43 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,434² = 42,23 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−16,43² = 0,8371 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 52,64 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

środnik: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·152,5 + 1120·70)/3620 = 127 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·25³/12 + 2500·(152,5 − 127)² = 1,759 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·140³/12 + 1120·(70 − 127)² = 5,465 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,759 × 10⁶ + 5,465 × 10⁶ = 7,224 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 165 − 127 = 38,02 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·38,02/7,224 × 10⁶ = 52,64 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 52,64 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = 5 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = −35 − 35·0 − 40·(−1) = 5 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = −75 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −70 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = 5 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 167,5 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 60 + 90·0,766 + 60·0,6428 = 167,5 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 167,5 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 15,23 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 15,23 mm

Odpowiedź

δ = 15,23 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 12,66 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·3000⁴/(384·200000·8,333) = 1,266 × 10⁷ mm⁴

I_req = 12,66 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 12,66 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 9,646 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Odpowiedź

P_cr = 9,646 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 31,58 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials