Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: aluminium, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 70 GPa). Oba mają długość 300 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 80 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 80 kNpręt: Ø30 mm, E = 200 GParura: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 55 kNodcinek 1: Ø35 mm, 2 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 2 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (mosiądz) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 75 mm i długość 0,5 m; odcinek BC ma średnicę 60 mm i długość 2 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 1500 N·m. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

T = 1500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 60 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 15 kW przy 1800 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 80 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

50 kN @ 5 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 50 kN w 2 mw = 12 kN/m od 0 do 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 240 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 140 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 12 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 240 mmh = 140 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 15 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 25 mm przenosi moment zginający 500 N·m wraz z momentem skręcającym 100 N·m. Na górnej powierzchni, gdzie naprężenie od zginania jest rozciągające i największe, wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

d = 25 mmM = 500 N·mT = 100 N·m

τ_max = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1,5 m od A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 5 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 2,5 m od podpory B. Wyznacz ugięcie δ_mid w środku rozpiętości.

P = 8 kNb = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,04334 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·5890 = 5,537 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 80000·300/5,537 × 10⁸ = 0,04334 mm

Odpowiedź

δ = 0,04334 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,894 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 57,17 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 57,17·2000/100000 = 1,143 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·2000/200000 = 1,751 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,894 mm

Odpowiedź

δ = 2,894 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 35,37 MPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Naprężenie w każdym odcinku

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1,5 × 10⁶/(π·75³) = 18,11 MPa

τ_BC = 16·1,5 × 10⁶/(π·60³) = 35,37 MPa

Odpowiedź

τ_max = 35,37 MPa

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 17,17 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·80)) = 17,17 mm

Odpowiedź

d = 17,17 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 38,33 kN, R₂ = 71,67 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 38,33, M_C = 76,67, M_D = 115 kN·m, M_E = 93,33, M_F = 71,67, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 115 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 114,7 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2 + 12·6·3

R_B = 316/6 = 52,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 122 − 52,67 = 69,33 kN

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 69,33·2 − 12·2·1 = 114,7 kN·m

Odpowiedź

M_x = 114,7 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 240·12 = 2880 mm², y₁ = 6 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·12·128 = 3072 mm², y₂ = 12 + 128/2 = 76 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2880·6 + 3072·76)/5952 = 42,13 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 240·12³/12 + 2880·(6 − 42,13)² = 3,794 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·12·128³/12 + 3072·(76 − 42,13)² = 7,719 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,794 × 10⁶ + 7,719 × 10⁶

I_x = 1,151 × 10⁷ mm⁴ = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 11,51 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 169,4 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

środnik: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·132,5 + 1920·60)/7420 = 113,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 220·25³/12 + 5500·(132,5 − 113,7)² = 2,222 × 10⁶ mm⁴

środnik: 16·120³/12 + 1920·(60 − 113,7)² = 7,849 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,222 × 10⁶ + 7,849 × 10⁶ = 1,007 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 113,7 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·113,7/1,007 × 10⁷ = 169,4 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 169,4 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −55,28 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = −30/85,44 = −0,3511, sin 2θ_s = −80/85,44 = −0,9363

2θ_s = atan2(−80, −30) = −110,6°

Kąt na elemencie

θ_s = −55,28°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −55,28 − (−10,28) = −45°

Odpowiedź

θ_s = −55,28°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 166,2 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·25³) = 325,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = 163 MPa

R = √(163² + 32,59²) = 166,2 MPa

Odpowiedź

τ_max = 166,2 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 60,16 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 5000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa³/(3EI) = 5000·1500³/(3·9,35 × 10¹⁰) = 60,16 mm

Odpowiedź

δ_P = 60,16 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_mid = 17,44 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 8000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ugięcie w środku rozpiętości

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 8000·2500·(3·8000² − 4·2500²)/(48·3,99 × 10¹²) = 17,44 mm

Odpowiedź

δ_mid = 17,44 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 65,57 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1400² = 65567 N = 65,57 kN

Odpowiedź

P_cr = 65,57 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 11,19 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/10 = 420

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/420² = 11,19 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 11,19 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials