Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (aluminium) pod obciążeniem osiowym.

P = 40 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 120 kNodcinek 1: Ø40 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Wał drążony ma przenosić moment skręcający 500 N·m. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,5 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 20 kW przy 300 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 60 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 3 kN/m od 0 do 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 60 kN w 1,5 mw = 10 kN/m od 0 do 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 5 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 120 MPa, σᵧ = −50 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 25° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = 120 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 400 mm i grubości ścianki 12 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 3 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 30° do osi walca. Wyznacz naprężenie normalne σ_n działające w poprzek spoiny.

D = 400 mmt = 12 mmp = 3 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 55 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 55 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 15,16 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/113,1 = 353,7 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 353,7/70000 = 0,005053 = 5053 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,005053·3000 mm = 15,16 mm

Odpowiedź

δ = 15,16 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,545 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 382 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 95,49·1000/117000 = 0,8162 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 382·500/70000 = 2,728 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,545 mm

Odpowiedź

δ = 3,545 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 33,09 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0,9375)) = 33,09 mm

d_i = 0,5·33,09 = 16,54 mm

Odpowiedź

d_o = 33,09 mm

Wał pełny wymagałby d = 32,38 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 37,81 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm

Odpowiedź

d = 37,81 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 36 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 15·4 − 3·4·2 = 36 kN·m

Odpowiedź

M_x = 36 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 38 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1,5 + 10·5·2,5

R_B = 215/5 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 43 = 67 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 67·4 − 60·(4 − 1,5) − 10·4·2 = 38 kN·m

Odpowiedź

M_x = 38 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 43,09 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

środnik: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·272,5 + 2600·130)/5600 = 206,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·25³/12 + 3000·(272,5 − 206,3)² = 1,329 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·260³/12 + 2600·(130 − 206,3)² = 2,98 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,329 × 10⁷ + 2,98 × 10⁷ = 4,309 × 10⁷ mm⁴ = 43,09 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 43,09 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 33,42 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

środnik: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·192,5 + 2520·90)/6020 = 149,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·25³/12 + 3500·(192,5 − 149,6)² = 6,626 × 10⁶ mm⁴

środnik: 14·180³/12 + 2520·(90 − 149,6)² = 1,575 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,626 × 10⁶ + 1,575 × 10⁷ = 2,238 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 149,6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·149,6/2,238 × 10⁷ = 33,42 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 33,42 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = −4,316 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = 35 − 85·0,6428 − (−20)·0,766 = −4,316 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = 74,32 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = −4,316 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_n = 43,75 MPa

Naprężenia w ściance

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 3·200/12 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

σ_n = 25·sin²30° + 50·cos²30° = 43,75 MPa

Odpowiedź

σ_n = 43,75 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 4,056 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 4,056 mm

Odpowiedź

δ_max = 4,056 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 30 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·4000⁴/(384·200000·11,11) = 3 × 10⁷ mm⁴

I_req = 30 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 30 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 177,2 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2800² = 177179 N = 177,2 kN

Odpowiedź

P_cr = 177,2 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 78,59 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 78,59 mm

Odpowiedź

d = 78,59 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 142,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials