Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (aluminium), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 65 kNodcinek 1: Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 40 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 1500 N·m działa w B, w odległości 0,8 m od A, a moment 1000 N·m o przeciwnym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 3 m dalej. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

d = 40 mmT_B = 1500 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,8 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

20 kN @ 4 m45 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

55 kN @ 12 m10 kN @ 8 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 150 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 60 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 144 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmśrodek otworu: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 5 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 70 MPa i σᵧ = 60 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 125 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 400 mm i grubości ścianki 10 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 1,5 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 25° do osi walca. Wyznacz naprężenie normalne σ_n działające w poprzek spoiny.

D = 400 mmt = 10 mmp = 1,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 80 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 80 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 404,2 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/706,9 = 28,29 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 28,29/70000 = 0,0004042 = 404,2 µε

Odpowiedź

ε = 404,2 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,982 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,73·1500/70000 = 1,108 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 574,7·1000/200000 = 2,874 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,982 mm

Odpowiedź

δ = 3,982 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 4,669 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(80000·38350) = 0,08149 rad

φ = 0,08149·180/π = 4,669°

Odpowiedź

φ = 4,669°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 79,58 MPa

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 1500 = −500 N·m

Maksymalne naprężenie styczne

Największe naprężenie ma odcinek z największym momentem wewnętrznym (ta sama średnica).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79,58 MPa

Odpowiedź

τ_max = 79,58 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 29,17 kN, R₂ = 35,83 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 29,17, M_C = 58,33, M_D = 87,5 kN·m, M_E = 71,67, M_F = 35,83, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 87,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: F (x = 10 m)

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 11 kN, R₂ = 94 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 14, M_C = 12, M_D = −6, M_E = −40, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt F: M_F = −110 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (36000·120 − 2827·144)/(36000 − 2827) = 118 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·240³/12 + 36000·2,046² = 173 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·60⁴/64 + 2827·26,05² = 2,554 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 170,4 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 49,28 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

środnik: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·207,5 + 1600·100)/4300 = 167,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 180·15³/12 + 2700·(207,5 − 167,5)² = 4,371 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·200³/12 + 1600·(100 − 167,5)² = 1,262 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,371 × 10⁶ + 1,262 × 10⁷ = 1,699 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 167,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·167,5/1,699 × 10⁷ = 49,28 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 49,28 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 59,79 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (70 + 60)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 65 = 60 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 5²) = 59,79 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 59,79 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_n = 27,32 MPa

Naprężenia w ściance

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1,5·200/10 = 30 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

σ_n = 15·sin²25° + 30·cos²25° = 27,32 MPa

Odpowiedź

σ_n = 27,32 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 3,516 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 3,516 mm

Odpowiedź

δ_max = 3,516 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 6,429 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·70000·5,556) = 6,429 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6,429 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 6,429 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 179,9 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/2000² = 179915 N = 179,9 kN

Odpowiedź

P_cr = 179,9 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 79,34 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,34 mm

Odpowiedź

d = 79,34 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 201,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials