Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 25 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 120 GPa). Oba mają długość 800 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 250 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 250 kNpręt: Ø25 mm, E = 200 GParura: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 55 kNodcinek 1: Ø40 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) o długości 0,8 m przenosi moment skręcający 750 N·m. Kąt skręcenia między jego końcami nie może przekroczyć 1°. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia ten warunek.

T = 750 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 50 kW przy 750 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 10 mP₁ = 10 kN w 5 mP₂ = 60 kN w 8 m

M_max = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz odległość x_c od A do miejsca zerowego momentu między podporami (w którym moment zginający zmienia znak).

L = 5 mw = 10 kN/m od 0 do 5 mpodpory w x = 0 i x = 4 m

x_c = m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 35 MPa przy rozciąganiu i 90 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa i τₓᵧ = 40 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = −30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 90 MPa, σᵧ = 110 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 40° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 4 mP = 10 kN w 2 m

R_B = kN

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 15 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 15 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,3455 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·4006 = 5,788 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 250000·800/5,788 × 10⁸ = 0,3455 mm

Odpowiedź

δ = 0,3455 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 273,5 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 273,5 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 273,5 MPa

Odpowiedź

σ_max = 273,5 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 60,58 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Wymagany biegunowy moment bezwładności

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·800/(26000·0,01745) = 1,322 × 10⁶ mm⁴

Średnica

d = (32J/π)^1/4 = 60,58 mm

Odpowiedź

d = 60,58 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 29,8 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·25/534071 = 29,8 MPa

Odpowiedź

τ_max = 29,8 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 106 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·5 + 60·8

R_B = 530/10 = 53 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 53 = 17 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·5 = 17·5 = 85 kN·m

pod P₂: M = R_B·2 = 53·2 = 106 kN·m

Największa wartość

M_max = 106 kN·m (pod P₂)

Odpowiedź

M_max = 106 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x_c = 3,75 m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·5·2,5

R_B = 125/4 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 31,25 = 18,75 kN

Zerowy moment

Między podporami M(x) = R_A·x − w·x²/2. Poza x = 0 jest równy zeru w x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·18,75/10 = 3,75 m

Odpowiedź

x_c = 3,75 m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 119,8 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

środnik: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·315 + 4800·150)/13200 = 255 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·30³/12 + 8400·(315 − 255)² = 3,087 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·300³/12 + 4800·(150 − 255)² = 8,892 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,087 × 10⁷ + 8,892 × 10⁷ = 1,198 × 10⁸ mm⁴ = 119,8 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 119,8 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 11,34 kN·m

Środek ciężkości

ȳ = (4200·227,5 + 1760·110)/5960 = 192,8 mm

krawędź górna: c = 235 − 192,8 = 42,2 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 280·15³/12 + 4200·34,7² + 8·220³/12 + 1760·82,8² = 2,43 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 35·2,43 × 10⁷/42,2 = 20,16 kN·m

krawędź dolna: M = 90·2,43 × 10⁷/192,8 = 11,34 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 11,34 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 11,34 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 40,31 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = −25 MPa, R = √((−5)² + 40²) = 40,31 MPa

σ₁ = 15,31 MPa, σ₂ = −65,31 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80,62, 15,31, 65,31)/2 = 40,31 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 40,31 MPa

Tutaj σ₁ i σ₂ mają przeciwne znaki, więc maksimum w płaszczyźnie R jest też maksimum bezwzględnym.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = 4,639 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −−10·0,9848 + −30·0,1736 = 4,639 MPa

Odpowiedź

τ_θ = 4,639 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,003571 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,003571 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,003571 rad

To 0,2046°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 3,125 kN

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). W belce statycznie niewyznaczalnej usuń podporę nadliczbową i zażądaj, aby ugięcie w tym miejscu było równe zeru (warunek zgodności).

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·10/16 = 3,125 kN

Odpowiedź

R_B = 3,125 kN

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 3,454 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·6000 = 6000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3,454 kN

Odpowiedź

P_cr = 3,454 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 48,49 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 48,49 mm

Odpowiedź

d = 48,49 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 206,2, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials