Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne
σ = F/A
Odkształcenie
ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a
σ = E·ε
Wydłużenie
ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne
εT = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne
τ = T·r/J
Wał pełny
J = πd⁴/32
Wał drążony
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia
φ = TL/(GJ)
Moc
P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

  1. Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
  2. Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
  3. Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
  4. Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek
C = (σx + σy)/2
Promień
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Naprężenia główne
σ1,2 = C ± R
Kierunek główny
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Płaszczyzna ukośna
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metoda

  1. Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
  2. Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
  4. Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni
Ø 20 mmAluminium0,5 mP = 45 kN

Wyznacz wydłużenie δ pręta (aluminium) pod obciążeniem osiowym.

P = 45 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny
50 kN12500 mm200 mmØ40Ø50σ2​ = ?

Odcinek (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: miedź, średnica 50 mm, długość 200 mm, E = 120 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 50 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ2 w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.Skręcanie wałówŚredni
d1​ = 50 mmd2​ = 40 mmT = 1000 N·mABC2,5 m3 m

Pełny wał schodkowy (mosiądz) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 50 mm i długość 2,5 m; odcinek BC ma średnicę 40 mm i długość 3 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 1000 N·m. Wyznacz kąt skręcenia φC końca C w stopniach.

T = 1000 N·md1 = 50 mm, L1 = 2,5 md2 = 40 mm, L2 = 3 mG = 39 GPa
φC = °
4.Skręcanie wałówTrudny
d = ?50 kW, 1000 rpm

Pełny wał (stal) przenosi moc 50 kW przy 1000 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 75 MPa, a kąt skręcenia 0,75° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 50 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0,75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
M0​ = 15 kN·mAB4 m2 m

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 15 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 4 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mM0 = 15 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 4 m
Mx = kN·m
6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 2 kN/mP = 30 kNABprzekrój7 m3 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 7 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 30 kN w 7 mw = 2 kN/m od 0 do 10 mx = 7 m
Mx = kN·m
7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
1402012018xwymiary w mm

Wyznacz moment bezwładności Ix przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
110230123102216xwymiary w mm

Spawany dwuteownik ma półkę górną 110 × 12 mm, środnik o wysokości 310 mm i grubości 16 mm oraz półkę dolną 230 × 22 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności Ix względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 110 × 12 mmśrodnik: 16 × 310 mmpółka dolna: 230 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni
σx​ = 10σy​ = −20τxy​ = −40MPa

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 10 MPa, σᵧ = −20 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τmax.

σx = 10 MPaσy = −20 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny
σx​ = −40σy​ = 70τxy​ = −40MPa

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −40 MPa, σᵧ = 70 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τθ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 40° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σx = −40 MPaσy = 70 MPaτxy = −40 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.Ugięcie belkiŚredni
w = 5 kN/mδL = 5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Ugięcie belkiTrudny
w = 6 kN/mδL = 3 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 5 m30 × 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 4 md = 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 1,023 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 45·1000/314,2 = 143,2 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 143,2/70000 = 0,002046 = 2046 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,002046·500 mm = 1,023 mm

Odpowiedź

δ = 1,023 mm
2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ2 = 17,85 MPa

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Sztywności

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 120000·1963/200 = 1,178 × 10⁶ N/mm

Udział odcinka 2

F2 = 50000·1,178 × 10⁶/1,681 × 10⁶ = 35047 N

Naprężenie

σ2 = 35047/1963 = 17,85 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ2 = 17,85 MPa
3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φC = 23,52 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowe momenty bezwładności

J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia każdego odcinka

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 1 × 10⁶·2500/(39000·613592) = 0,1045 rad
φBC = 1 × 10⁶·3000/(39000·251327) = 0,3061 rad

Całkowity kąt skręcenia

φC = 0,1045 + 0,3061 = 0,4105 rad = 23,52°

Odpowiedź

φC = 23,52°
4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 46,42 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm
dτ = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·477465/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 46,42 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(31,89, 46,42) = 46,42 mm

Odpowiedź

d = 46,42 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 15/6 = 2,5 kN (w górę)
RA = −RB = −2,5 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz RA i moment skupiony.

Mx = RA·a + M0 = −2,5·4 + 15 = 5 kN·m

Odpowiedź

Mx = 5 kN·m
6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 84 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·7 + 2·10·5
RB = 310/10 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 31 = 19 kN
w = 2 kN/mP = 30 kNABRA​ = 19RB​ = 31przekrój7 m3 m

Przetnij w x = 7 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 19·7 − 2·7·3,5 = 84 kN·m

Odpowiedź

Mx = 84 kN·m
7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: Ix = 8,66 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: Af = 140·20 = 2800 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm
środnik: Aw = 18·120 = 2160 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Środek ciężkości

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·130 + 2160·60)/4960 = 99,52 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·20³/12 + 2800·(130 − 99,52)² = 2,695 × 10⁶ mm⁴
środnik: 18·120³/12 + 2160·(60 − 99,52)² = 5,965 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,695 × 10⁶ + 5,965 × 10⁶ = 8,66 × 10⁶ mm⁴ = 8,66 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ix = 8,66 × 10⁶ mm⁴
8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: Ix = 178,9 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 1320 mm², y = 338 mm
środnik: A = 4960 mm², y = 177 mm
półka dolna: A = 5060 mm², y = 11 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1320·338 + 4960·177 + 5060·11)/11340 = 121,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 110·12³/12 + 1320·216,3² = 6,179 × 10⁷ mm⁴
środnik: 16·310³/12 + 4960·55,33² = 5,491 × 10⁷ mm⁴
półka dolna: 230·22³/12 + 5060·110,7² = 6,218 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,179 × 10⁷ + 5,491 × 10⁷ + 6,218 × 10⁷
Ix = 1,789 × 10⁸ mm⁴ = 178,9 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ix = 178,9 × 10⁶ mm⁴
9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τmax = 42,72 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

στxyCτmax​

Promień koła Mohra

τmax = R = √(((10 − −20)/2)² + −40²) = 42,72 MPa

Odpowiedź

τmax = 42,72 MPa
10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τθ = 47,22 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji

τθ = −−55·0,9848 + −40·0,1736 = 47,22 MPa

Odpowiedź

τθ = 47,22 MPa
11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 8,846 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 8,846 mm

Odpowiedź

δmax = 8,846 mm
12.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 69,03 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·3000⁴/(384·11000·8,333) = 6,903 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 69,03 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 69,03 × 10⁶ mm⁴
13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 14,21 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·5000 = 5000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/5000² = 14212 N = 14,21 kN

Odpowiedź

Pcr = 14,21 kN
14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 17,27 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Odpowiedź

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials