Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: mosiądz, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 100 GPa). Oba mają długość 400 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 200 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 200 kNpręt: Ø30 mm, E = 200 GParura: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 120 kNodcinek 1: Ø35 mm, 1,5 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 25 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 100 kW przy 1450 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 3 kN/m od 0 do 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP = 30 kN w 5 mw = 8 kN/m od 0 do 6 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 150 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 30 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 97,5 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 150 mmwycięcie: 50 × 30 mmśrodek otworu: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 50 MPa, σᵧ = −50 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 60 MPa, σᵧ = 70 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 35° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1,5 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 29 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 90 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 90 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,1242 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5027 = 6,44 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 200000·400/6,44 × 10⁸ = 0,1242 mm

Odpowiedź

δ = 0,1242 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 10,67 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 124,7 MPa

σ₂ = 1061 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 124,7·1500/117000 = 1,599 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1061·1000/117000 = 9,069 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,67 mm

Odpowiedź

δ = 10,67 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 11,49 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·38350) = 0,2006 rad

φ = 0,2006·180/π = 11,49°

Odpowiedź

φ = 11,49°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 10,59 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·37,5/2,332 × 10⁶ = 10,59 MPa

Odpowiedź

τ_max = 10,59 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 6 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 7,5·1 − 3·1·0,5 = 6 kN·m

Odpowiedź

M_x = 6 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 52,56 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·5 + 8·6·3

R_B = 294/6 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 49 = 29 kN

Gdzie V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 29/8 = 3,625 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 29·3,625 − 8·3,625²/2 = 52,56 kN·m

Odpowiedź

M_max = 52,56 kN·m

Występuje w x = 3,625 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 46,35 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

środnik: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·265 + 4160·130)/5960 = 170,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 180·10³/12 + 1800·(265 − 170,8)² = 1,6 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·260³/12 + 4160·(130 − 170,8)² = 3,035 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,6 × 10⁷ + 3,035 × 10⁷ = 4,635 × 10⁷ mm⁴ = 46,35 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 46,35 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 32,81 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (18000·75 − 1500·97,5)/(18000 − 1500) = 72,95 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·150³/12 + 18000·2,045² = 33,83 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·30³/12 + 1500·24,55² = 1,016 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 32,81 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 32,81 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −25,67 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 40/64,03 = 0,6247, sin 2θ_s = −50/64,03 = −0,7809

2θ_s = atan2(−50, 40) = −51,34°

Kąt na elemencie

θ_s = −25,67°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −25,67 − 19,33 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −25,67°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 91,48 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 65 + −5·0,342 + 30·0,9397 = 91,48 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 91,48 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 29,13 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 29000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 29000·1500²·4500²/(3·2,52 × 10¹²·6000) = 29,13 mm

Odpowiedź

δ_P = 29,13 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·200000·5,556) = 2,813 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 2,813 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 6,759 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1400² = 6759 N = 6,759 kN

Odpowiedź

P_cr = 6,759 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 82,55 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 82,55 mm

Odpowiedź

d = 82,55 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 242,3, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials