Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (stal) pod obciążeniem osiowym.

P = 95 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 95 kNodcinek 1: Ø30 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 2 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 30 kW przy 1800 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 60 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 30 kWN = 1800 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

45 kN @ 5 m35 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 10 kN w 5 mw = 4 kN/m od 0 do 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Rura okrągła ma średnicę zewnętrzną D = 260 mm i średnicę wewnętrzną d = 232 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.

D = 260 mmd = 232 mm

r = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 100 mm × 300 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 40 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 210 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 300 mmwycięcie: 40 × 40 mmśrodek otworu: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 120 MPa i τₓᵧ = 50 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = 150 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −80 MPa, σᵧ = −40 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 45° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 22 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 6 mP = 30 kN w 3 m

R_B = kN

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 60 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 60 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,024 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 95·1000/314,2 = 302,4 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 302,4/200000 = 0,001512 = 1512 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,001512·2000 mm = 3,024 mm

Odpowiedź

δ = 3,024 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 5,685 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·500/70000 = 0,96 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 472,5·2000/200000 = 4,725 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,685 mm

Odpowiedź

δ = 5,685 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 3,464 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(26000·79522) = 0,06046 rad

φ = 0,06046·180/π = 3,464°

Odpowiedź

φ = 3,464°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 23,82 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·60)) = 23,82 mm

Odpowiedź

d = 23,82 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 19,17 kN, R₂ = 60,83 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 19,17, M_C = 38,33, M_D = 57,5, M_E = 76,67 kN·m, M_F = 60,83, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 76,67 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 48,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·5 + 4·8·4

R_B = 178/8 = 22,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 22,25 = 19,75 kN

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 19,75·5 − 4·5·2,5 = 48,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 48,75 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: r = 87,11 mm

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.

Pole netto i moment bezwładności netto

A = π(D² − d²)/4 = 10820 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,211 × 10⁷ mm⁴

Promień bezwładności

r = √(I/A) = √(8,211 × 10⁷/10820) = 87,11 mm

Odpowiedź

r = 87,11 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 218,7 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (30000·150 − 1600·210)/(30000 − 1600) = 146,6 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·300³/12 + 30000·3,38² = 225,3 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

40·40³/12 + 1600·63,38² = 6,641 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 218,7 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 218,7 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 93,6 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = 135 MPa, R = √(15² + 50²) = 52,2 MPa

σ₁ = 187,2 MPa, σ₂ = 82,8 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(104,4, 187,2, 82,8)/2 = 93,6 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 93,6 MPa

Tutaj decyduje koło spoza płaszczyzny: maksimum bezwzględne jest większe niż maksimum w płaszczyźnie R.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −120 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −60 + −20·0 + 60·−1 = −120 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −120 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 33,61 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 22000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 22000·2500³/(3·3,99 × 10¹²) = 28,72 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 4,895 mm

Dodaj

δ = 28,72 + 4,895 = 33,61 mm

Odpowiedź

δ = 33,61 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 9,375 kN

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·30/16 = 9,375 kN

Odpowiedź

R_B = 9,375 kN

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 42,64 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2500² = 42637 N = 42,64 kN

Odpowiedź

P_cr = 42,64 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 106,2 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 106,2 mm

Odpowiedź

d = 106,2 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 225,9, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials