Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (mosiądz) pod obciążeniem osiowym.

P = 110 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 60 kNodcinek 1: Ø30 mm, 0,5 m, stal (E = 200 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

W próbie skręcania pełna próbka o średnicy 12 mm jest skręcana momentem 20 N·m. Końce odcinka pomiarowego o długości 400 mm obracają się względem siebie o 5,77° (materiał jest jeszcze w zakresie sprężystym). Wyznacz moduł sprężystości postaciowej G materiału.

T = 20 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 5,77°

G = GPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) przenosi moc 5 kW przy 1450 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 60 MPa, a kąt skręcenia 0,5° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 10 kN/m od 0 do 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 7 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 20 kN w 8 mw = 8 kN/m od 0 do 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 100 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 168 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 50 MPa przy rozciąganiu i 150 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 70 MPa i σᵧ = 70 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 120 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 120 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 30° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 1,751 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 110·1000/314,2 = 350,1 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 350,1/100000 = 0,003501 = 3501 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,003501·500 mm = 1,751 mm

Odpowiedź

δ = 1,751 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 6,607 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 84,88·500/200000 = 0,2122 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·1500/70000 = 6,395 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,607 mm

Odpowiedź

δ = 6,607 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: G = 39,02 GPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności i kąt

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 5,77·π/180 = 0,1007 rad

Moduł sprężystości poprzecznej

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(2036·0,1007) = 39022 MPa

G = 39,02 GPa

Odpowiedź

G = 39,02 GPa

Porównaj: stal ≈ 80 GPa, mosiądz ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 26,33 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

d_τ = ∛(16·32929/(π·60)) = 14,09 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·32929/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 26,33 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(14,09, 26,33) = 26,33 mm

Odpowiedź

d = 26,33 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 125 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 50·5 − 10·5·2,5 = 125 kN·m

Odpowiedź

M_x = 125 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 112 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·8 + 8·10·5

R_B = 560/10 = 56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 56 = 44 kN

Przetnij w x = 7 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 44·7 − 8·7·3,5 = 112 kN·m

Odpowiedź

M_x = 112 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·120 − 1963·168)/(24000 − 1963) = 115,7 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·240³/12 + 24000·4,277² = 115,6 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·52,28² = 5,673 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 9,304 kN·m

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Środek ciężkości

ȳ = (2400·145 + 1400·70)/3800 = 117,4 mm

krawędź górna: c = 150 − 117,4 = 32,63 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 240·10³/12 + 2400·27,63² + 10·140³/12 + 1400·47,37² = 7,28 × 10⁶ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 50·7,28 × 10⁶/32,63 = 11,16 kN·m

krawędź dolna: M = 150·7,28 × 10⁶/117,4 = 9,304 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 9,304 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 9,304 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 50 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (70 + 70)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 120 − 70 = 50 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 0²) = 50 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 50 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −38,48 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −15 + 5·0,5 + 30·−0,866 = −38,48 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −38,48 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 69,75 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 10·5000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 69,75 mm

Odpowiedź

δ = 69,75 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·8000⁴/(384·200000·22,22) = 2,4 × 10⁸ mm⁴

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,879 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·2000 = 4000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/4000² = 2879 N = 2,879 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,879 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 111 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 111 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials