Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (miedź) pod obciążeniem osiowym.

P = 30 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 20 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 200 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 110 GPa, naprężenie dopuszczalne 70 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MParura: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 15 kW przy 500 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 15 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 3 m12 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 6 kN/m od 0 do 8 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

M_B = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 40 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 40 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 140 MPa, σᵧ = −10 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 50 mm przenosi osiową siłę rozciągającą 190 kN wraz z momentem skręcającym 1000 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 50 mmF = 190 kNT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 6 kNw = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 15 kNw = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,1814 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/706,9 = 42,44 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 42,44/117000 = 0,0003627 = 362,7 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,0003627·500 mm = 0,1814 mm

Odpowiedź

δ = 0,1814 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 320,4 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,001, 0,0006364) = 0,0006364 (brąz)

Największe obciążenie

P_max = 0,0006364·5,034 × 10⁸ = 320371 N = 320,4 kN

Odpowiedź

P_max = 320,4 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,7003 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·613592) = 0,01222 rad

φ = 0,01222·180/π = 0,7003°

Odpowiedź

φ = 0,7003°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 9,881 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·30/869767 = 9,881 MPa

Odpowiedź

τ_max = 9,881 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 24,5 kN, R₂ = 24,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 24,5, M_C = 49, M_D = 67,5 kN·m, M_E = 49, M_F = 24,5, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 67,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −12 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·8·4

R_B = 192/6 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 32 = 16 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Obciążenie na wsporniku, w·a, działa w odległości a/2 od B i wygina belkę nad podporą wypukłością do góry.

M_B = −w·a²/2 = −6·2²/2 = −12 kN·m

Odpowiedź

M_B = −12 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 33,41 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

środnik: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·232,5 + 2640·110)/6140 = 179,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·25³/12 + 3500·(232,5 − 179,8)² = 9,892 × 10⁶ mm⁴

środnik: 12·220³/12 + 2640·(110 − 179,8)² = 2,352 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,892 × 10⁶ + 2,352 × 10⁷ = 3,341 × 10⁷ mm⁴ = 33,41 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 33,41 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 36,64 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

środnik: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·275 + 4160·130)/10760 = 218,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 220·30³/12 + 6600·(275 − 218,9)² = 2,124 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·260³/12 + 4160·(130 − 218,9)² = 5,634 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,124 × 10⁷ + 5,634 × 10⁷ = 7,758 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 290 − 218,9 = 71,06 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·71,06/7,758 × 10⁷ = 36,64 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 36,64 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 85 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((140 − −10)/2)² + 40²) = 85 MPa

Odpowiedź

τ_max = 85 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 111,6 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = 190000/(π·50²/4) = 190000/1963 = 96,77 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40,74 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = 48,38 MPa

R = √(48,38² + 40,74²) = 63,25 MPa

σ₁ = C + R = 111,6 MPa

σ₂ = C − R = −14,87 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 111,6 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 23,63 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 6000 N, w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 6000·6000³/(3·3,2 × 10¹³) = 13,5 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·6000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 10,13 mm

Dodaj

δ = 13,5 + 10,13 = 23,63 mm

Odpowiedź

δ = 23,63 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 2,747 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 15000 N, w = 6 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·5000³/(48·3,2 × 10¹³) = 1,221 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 1,526 mm

Dodaj

δ_max = 1,221 + 1,526 = 2,747 mm

Odpowiedź

δ_max = 2,747 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 35,88 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3500² = 35879 N = 35,88 kN

Odpowiedź

P_cr = 35,88 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 11,05 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 11,05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials