Metody numeryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności: R = lim |c_k/c_k+1|
Wielomian Taylora: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Macierze i wyznaczniki

wyznacznik 2×2: det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Wartości własne: det(A − λI) = 0
Wzory Cramera: x_i = det(A_i)/det(A)

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody numeryczneŚredni

Przybliż ∫₀¹ 1/√(1 + x⁴) dx wzorem trapezów przy n = 5 paskach. Podaj T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 5

T =

2.Metody numeryczneTrudny

Użyj metody Eulera z h = 0,5 dla y′ = 1,5y, y(0) = 2, aby oszacować y₅ ≈ y(2,5).

y′ = 1,5yy(0) = 2h = 0,5

y₅ =

3.Ciągi i szeregiŚredni

Zastosuj kryterium d’Alemberta do Σ_k=1^∞ k!/kᵏ. Znajdź L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = k!/kᵏ

L =

4.Ciągi i szeregiTrudny

Znajdź współczynnik c₃ przy (x − 1)³ w szeregu Taylora funkcji f(x) = ln x w punkcie a = 1.

f(x) = ln xa = 1k = 3

c₃ =

5.Macierze i wyznacznikiŚredni

Niech C = AB dla pokazanych macierzy. Wyznacz element c₂₁ (wiersz 2, kolumna 1).

A = [4 −6; 0 −2]B = [6 −6; 4 −6]

c₂₁ =

6.Macierze i wyznacznikiTrudny

Rozwiąż układ −x − 5y = −11 i 3x − y = 2. Wyznacz x.

−x − 5y = −113x − y = 2

x =

7.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 6y′ + 9y = 0 z y(0) = 3 i y′(0) = -2. Wyznacz y(1,5).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = -2

y(1.5) =

8.Równania różniczkoweTrudny

Układ spełnia równanie y″ + 2y′ + 5y = 25 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz wartość szczytową y_max jego odpowiedzi skokowej.

y″ + 2y′ + 5y = 25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3Roztwory

1.Metody numeryczne

Odpowiedź: T = 0,9247

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Węzły i wartości

h = 0,2

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,999201 + 2·0,987441 + 2·0,940887 + 2·0,842271 + 0,707107 = 9,246708

Wzór trapezów

T = (0,2/2)·9,246708 = 0,9247

Odpowiedź

T = 0,9247

Ta całka nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, a właśnie wtedy potrzebna jest reguła numeryczna.

2.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₅ = 32,83

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₁ = 2 + 0,5·(3) = 3,5

y₂ = 3,5 + 0,5·(5,25) = 6,125

y₃ = 6,125 + 0,5·(9,1875) = 10,71875

y₄ = 10,71875 + 0,5·(16,078125) = 18,757813

y₅ = 18,757813 + 0,5·(28,136719) = 32,826172

Wykres

y₅ = 32,83

Odpowiedź

y₅ = 32,83

Wartość dokładna to y(2,5) = 85,042164.

3.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: L = 0,3679

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Iloraz kolejnych wyrazów

|a_k+1/a_k| = (k/(k + 1))ᵏ = (1 + 1/k)ᵏ → 1/e

Wniosek

L = 0,3679 < 1

Odpowiedź

L = 0,3679

L < 1, więc szereg jest zbieżny.

4.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: c₃ = 0,3333

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

Pochodna f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = 2/x³

Współczynnik

c₃ = f⁽³⁾(1)/3! = 2/(1³·6) = 0,3333

c₃ = 0,3333

Odpowiedź

c₃ = 0,3333

5.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: c₂₁ = −8

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Wiersz razy kolumna

c₂₁ = 0·6 + (−2)·4 = −8

Odpowiedź

c₂₁ = −8

6.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: x = 1,313

Wyznacznik macierzy współczynników

det A = (−1)·(−1) − (−5)·3 = 16

Zastąp kolumnę x

det Aₓ = (−11)·(−1) − (−5)·2 = 21

x = 21/16 = 1,313

Odpowiedź

x = 1,313

y = 1,938

7.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1.5) = 0,15

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastek podwójny

(r + 3)² = 0 → r = −3

Stałe

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 3A → B = -2 + 9 = 7

Oblicz

y(1,5) = (3 + 7·1,5)·e^−4,5 = 0,15

Odpowiedź

y(1,5) = 0,15

8.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y_max = 6,039

Wartość ustalona i pierwiastki

y_ss = 5, r = −1 ± 2j

Stałe z wartości początkowych

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −2,5

Szczyt

t = π/2 = 1,571

y_max = 5·(1 + e^−1·π/2) = 6,039

Odpowiedź

y_max = 6,039

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods