Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.
Ciągi i szeregi
Ciąg arytmetyczny
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności
R = lim |ck/ck+1|
Wielomian Taylora
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metoda
Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Macierze i wyznaczniki
wyznacznik 2×2
det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Wartości własne
det(A − λI) = 0
Wzory Cramera
xi = det(Ai)/det(A)
Równania różniczkowe
Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody numeryczneŚredni
Wzór trapezów stosuje się do ∫01 x³ dx. Błąd wynosi co najwyżej (b − a)³·M/(12n²), gdzie M = max|f″| na [0, 1]. Znajdź najmniejszą liczbę pasków n, która gwarantuje błąd poniżej 0,001.
f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
2.Metody numeryczneTrudny
Użyj metody Eulera z h = 0,2 dla y′ = 1,5y, y(0) = 2, aby oszacować y3 ≈ y(0,6).
y′ = 1,5yy(0) = 2h = 0,2
y3 =
3.Ciągi i szeregiŚredni
Szereg potęgowy Σk=1∞ 2ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1) jest zbieżny na przedziale wokół x₀ = −1. Znajdź prawy koniec x tego przedziału.
Σ 2ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1)x₀ = −1
x =
4.Ciągi i szeregiTrudny
Funkcję f(x) = eˣ przybliżono w x = 2 jej wielomianem Maclaurina stopnia n. Z oszacowaniem Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! i M = 8 znajdź najmniejszy stopień n, który gwarantuje błąd poniżej 0,0001.
f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 0,0001
n =
5.Macierze i wyznacznikiŚredni
Niech C = AB dla pokazanych macierzy. Wyznacz element c12 (wiersz 1, kolumna 2).
A = [−4 2; −5 −6]B = [3 6; −3 2]
c12 =
6.Macierze i wyznacznikiTrudny
Rozwiąż układ 6x − y = 8 i −2x + 2y = 6. Wyznacz x.
6x − y = 8−2x + 2y = 6
x =
7.Równania różniczkoweŚredni
Puszkę napoju o temperaturze 6 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 27 °C. Po 12 min jej temperatura wynosi 19 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Po jakim czasie od początku, t, osiągnie 23 °C?
T0 = 6 °CTa = 27 °CT(12) = 19 °CT = 23 °C
t = min
8.Równania różniczkoweTrudny
Rozwiąż y′ + y = 6e−0,5t z y(0) = 1. Wyznacz y(1,5).
y′ + y = 6e−0,5ty(0) = 1
y(1.5) =
3Roztwory
1.Metody numeryczne
Odpowiedź: n = 23
Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.
Oszacowanie drugiej pochodnej
M = 6·1 = 6
Wyznacz n
n² > 1·6/(12·0,001) = 500
n > 22,36 → n = 23
Odpowiedź
n = 23
2.Metody numeryczne
Odpowiedź: y3 = 4,394
Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.
Kroki Eulera
y₁ = 2 + 0,2·(3) = 2,6
y₂ = 2,6 + 0,2·(3,9) = 3,38
y₃ = 3,38 + 0,2·(5,07) = 4,394
Wykres
y3 = 4,394
Odpowiedź
y3 = 4,394
Wartość dokładna to y(0,6) = 4,919206.
3.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: x = −0,5
Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.
Współczynniki
ck/ck+1 = (1/2)·(k + 2)/(k + 1) → 0,5
Promień
R = 0,5
Przedział
−1,5 < x < −0,5
x = −0,5
Odpowiedź
x = −0,5
Kryterium d’Alemberta nic nie mówi w obu punktach końcowych; trzeba je sprawdzić osobno.
4.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: n = 11
Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.
Oszacowania dla rosnących n
n = 10: 0,0004105 ≥ 0,0001
n = 11: 6,841 × 10⁻⁵ < 0,0001
Najmniejszy stopień
n = 11
Odpowiedź
n = 11
5.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: c12 = −20
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Wiersz razy kolumna
c12 = (−4)·6 + 2·2 = −20
Odpowiedź
c12 = −20
6.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: x = 2,2
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Wyznacznik macierzy współczynników
det A = 6·2 − (−1)·(−2) = 10
Zastąp kolumnę x
det Aₓ = 8·2 − (−1)·6 = 22
x = 22/10 = 2,2
Odpowiedź
x = 2,2
y = 5,2
7.Równania różniczkowe
Odpowiedź: t = 20,62 min
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.
Stała stygnięcia
k = ln(-21/-8)/12 = 0,08042 min⁻¹
Czas do osiągnięcia celu
t = ln(-21/(−4))/0,08042 = 20,62 min
Odpowiedź
t = 20,62 min
8.Równania różniczkowe
Odpowiedź: y(1.5) = 3,214
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.