Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 45 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 95%, a współczynnik mocy 0,8 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 400 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 45 kWη = 95%cos φ = 0,8V_L = 400 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 300 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 300 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.TransformatoryŚredni

Jednofazowy transformator 500 kVA, 480/240 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd I_HV w uzwojeniu górnego napięcia.

S = 500 kVAV₁ = 480 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 200 kVA ma straty w rdzeniu 800 W i straty w miedzi 2400 W przy obciążeniu znamionowym. Przy jakim obciążeniu S_η,max, w kVA, jego sprawność jest najwyższa?

S = 200 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2400 W

S_η,max = kVA

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 17 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 230 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 17 kWpf = 0,75V = 230 V

Q = kvar

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Źródło 230 V (skuteczne), 1000 Hz ma impedancję wewnętrzną Z_s = 5 + j6 Ω. Impedancję obciążenia Z_L można dobrać dowolnie. Wyznacz maksymalną moc czynną P_max, jaką można dostarczyć do obciążenia.

V_s = 230 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 5 + j6 Ω

P_max = W

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

cos φ =

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

V_C = V

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego oddaje moc mechaniczną 1,5 kW przy 1000 obr/min. Wyznacz moment na wale T.

P = 1,5 kWn = 1000 rpm

T = N·m

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Przerywacz prądu stałego zasila silnik (k = 1 V·s/rad, R_a = 2 Ω) z szyny prądu stałego 220 V. Średnie napięcie twornika to D·220 V. Wyznacz współczynnik wypełnienia D, przy którym silnik pracuje z prędkością 400 obr/min i obciążeniem 8 N·m.

V_dc = 220 Vk = 1 V·s/radR_a = 2 ΩT = 8 N·mn = 400 rpm

D = %

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 85,46 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 45/0,95 = 47,37 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 47368/(√3·400·0,8) = 85,46 A

Odpowiedź

I_L = 85,46 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 222,9 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,65) = 300·1,169 = 350,7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,92) = 300·0,426 = 127,8 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 222,9 kvar

Odpowiedź

Q_C = 222,9 kvar

3.Transformatory

Odpowiedź: I_HV = 1042 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

I_HV = S/V = 500000/480 = 1042 A

Odpowiedź

I_HV = 1042 A

4.Transformatory

Odpowiedź: S_η,max = 115,5 kVA

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi równe stratom w rdzeniu

x²·2400 = 800 → x = √(800/2400) = 0,5774

Obciążenie przy maksymalnej sprawności

S_η,max = x·S = 0,5774·200 = 115,5 kVA

Odpowiedź

S_η,max = 115,5 kVA

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 14,99 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

Moc bierna

Q = P·tan φ = 17·0,8819 = 14,99 kvar

Odpowiedź

Q = 14,99 kvar

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P_max = 2645 W

Dopasowanie sprzężone

Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

Z_L = Z_s* = 5 − j6 Ω

Moc maksymalna

I = V_s/(2R_s) = 230/10 = 23 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 230²/(4·5) = 2645 W

Odpowiedź

P_max = 2645 W

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,3337

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 314,2 Ω, X_C = 144,7 Ω

Impedancja

|Z| = √(60² + (169,5)²) = 179,8 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 60/179,8 = 0,3337

Obwód jest indukcyjny, więc współczynnik mocy ma charakter indukcyjny.

Odpowiedź

cos φ = 0,3337

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 116,8 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−144,2)²) = 145 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 100/145 = 0,6898 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,6898·169,3 = 116,8 V

Odpowiedź

V_C = 116,8 V

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: T = 14,32 N·m

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość w rad/s

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

Moment skręcający

T = P/ω = 1500/104,7 = 14,32 N·m

Odpowiedź

T = 14,32 N·m

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: D = 26,31 %

Wymagane napięcie twornika

V_a = 1·41,89 + 8·2 = 57,89 V

Współczynnik wypełnienia

D = 57,89/220 = 26,31 %

Odpowiedź

D = 26,31 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems