Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 75 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 90%, a współczynnik mocy 0,84 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 690 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 75 kWη = 90%cos φ = 0,84V_L = 690 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 200 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 400 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 200 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.TransformatoryŚredni

Jednofazowy transformator 100 kVA, 4160/480 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd I_LV w uzwojeniu dolnego napięcia.

S = 100 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_LV = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 500 kVA ma straty w rdzeniu 2500 W i straty w miedzi 5000 W przy obciążeniu znamionowym. Przy jakim obciążeniu S_η,max, w kVA, jego sprawność jest najwyższa?

S = 500 kVAP_core = 2500 WP_cu,fl = 5000 W

S_η,max = kVA

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 21 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 240 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 21 kWpf = 0,75V = 240 V

Q = kvar

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Transformator jednofazowy 200 kVA zasila odbiornik 67 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 67 kWpf₁ = 0,6

ΔP = kW

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 50 mH i C = 0,1 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 5 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF

Q =

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego o k = 1,5 V·s/rad jest zasilany napięciem 220 V. Pomijając wszystkie straty na biegu jałowym, wyznacz jego prędkość biegu jałowego n₀ w obr/min.

V = 220 Vk = 1,5 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Mały silnik prądu stałego ma rezystancję twornika 0,5 Ω i jest zasilany napięciem 120 V. Pomijając straty mechaniczne, wyznacz największą moc mechaniczną P_max, jaką może rozwinąć przy dowolnej prędkości.

V = 120 VR_a = 0,5 Ω

P_max = W

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 83,01 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 75/0,9 = 83,33 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 83333/(√3·690·0,84) = 83,01 A

Odpowiedź

I_L = 83,01 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 168,1 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,65) = 200·1,169 = 233,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 168,1 kvar

Odpowiedź

Q_C = 168,1 kvar

3.Transformatory

Odpowiedź: I_LV = 208,3 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

I_LV = S/V = 100000/480 = 208,3 A

Odpowiedź

I_LV = 208,3 A

4.Transformatory

Odpowiedź: S_η,max = 353,6 kVA

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi równe stratom w rdzeniu

x²·5000 = 2500 → x = √(2500/5000) = 0,7071

Obciążenie przy maksymalnej sprawności

S_η,max = x·S = 0,7071·500 = 353,6 kVA

Odpowiedź

S_η,max = 353,6 kVA

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 18,52 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

Moc bierna

Q = P·tan φ = 21·0,8819 = 18,52 kvar

Odpowiedź

Q = 18,52 kvar

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 111,9 kW

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q₁ = 67·tan(arccos 0,6) = 89,33 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = S_max, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 89,33²) = 178,9 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 178,9 − 67 = 111,9 kW

Odpowiedź

ΔP = 111,9 kW

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,107 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (48,36)²) = 93,48 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 10/93,48 = 0,107 A

Odpowiedź

I = 0,107 A

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 141,4

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,1·10⁻⁶)) = 2251 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,05/(0,1·10⁻⁶)) = 141,4

Odpowiedź

Q = 141,4

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n₀ = 1401 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość biegu jałowego

ω₀ = V/k = 220/1,5 = 146,7 rad/s

n₀ = 60·146,7/(2π) = 1401 rpm

Odpowiedź

n₀ = 1401 rpm

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: P_max = 7200 W

Moc w funkcji siły przeciwelektromotorycznej

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Moc maksymalna

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 120²/(4·0,5) = 7200 W

Odpowiedź

P_max = 7200 W

W tym punkcie sprawność wynosi tylko 50 %, więc rzeczywiste silniki pracują wyraźnie powyżej połowy prędkości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems