Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (−6, 5, 4) i b = (2, −4, k) są prostopadłe.

a = (−6, 5, 4)b = (2, −4, k)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Dla a = (−5, −1, −6) i b = (2, 1, 4) znajdź składową y, czyli (a × b)_y, iloczynu wektorowego a × b.

a = (−5, −1, −6)b = (2, 1, 4)

(a × b)_y =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 10 mP₁ = 35 kN w 6 mP₂ = 55 kN w 7 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 5 mP = 60 kN w 3 mw = 2 kN/m od 1 do 5 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 15 kN ↓D: 40 kN ↓F: 15 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 15 kN ↓F: 20 kN →G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 8 m, a B leży 2,5 m nad podłożem i 4,8 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 3,6 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 8 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 8 kNL = 8 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 4,8 modległość pozioma od A do K = 3,6 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2,4 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 2,5 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 0,6 m. W punkcie C działa pozioma siła 4 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 4 kNAB = 2,4 mwysokość C = 2,5 mwysokość DE = 0,6 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 6 kN/m od 0 do 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 40 kN w 2,5 mw = 10 kN/m od 0 do 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 40 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmM = 40 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = 8

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = (−6)·2 + 5·(−4) + 4·k = 0

−32 + 4·k = 0

Wyznacz k

k = −(−32)/4 = 8

Odpowiedź

k = 8

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: (a × b)_y = 8

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy, składowa po składowej

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·4 − (−6)·1 = 2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·2 − (−5)·4 = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·1 − (−1)·2 = −3

Żądana składowa

(a × b)_y = 8

Odpowiedź

(a × b)_y = 8

Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 59,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·6 + 55·7

R_B = 595/10 = 59,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 59,5 = 30,5 kN

Odpowiedź

R_B = 59,5 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 40,8 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3 + 2·4·3

R_B = 204/5 = 40,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 40,8 = 27,2 kN

Odpowiedź

R_B = 40,8 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 24,38 kN (T), BC: 24,38 kN (T), CD: 28,12 kN (T), DE: 28,12 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 26,25 kN (C), AF: 40,63 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 3,125 kN (T), HC: 3,125 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 41,25 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 62,5 kN (T), DE: 58,75 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 58,75 kN (C), AF: 30,05 kN (C), HE: 83,09 kN (C), BF: 21,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 30,05 kN (C), DG: 5,303 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 5,848 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(3,2² + 2,5²) = 4,061 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2,5/4,061)·8 = 8·3,6

F_BC = 5,848 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 5,848 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 2,632 kN

Cała rama: momenty względem A

B_y·2,4 = 4·2,5

B_y = 4,167 kN

Noga BC: momenty względem C

4,167·1,2 = T·1,9

T = 2,632 kN

Odpowiedź

T = 2,632 kN

Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 9 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 12·1 − 6·1·0,5 = 9 kN·m

Odpowiedź

M_x = 9 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 56,25 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2,5 + 10·4·2

R_B = 180/4 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 45 = 35 kN

Przetnij w x = 2,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 35·2,5 − 10·2,5·1,25 = 56,25 kN·m

Odpowiedź

M_x = 56,25 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 42,55 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

środnik: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·215 + 4000·100)/8800 = 162,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·30³/12 + 4800·(215 − 162,7)² = 1,348 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·200³/12 + 4000·(100 − 162,7)² = 2,907 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,348 × 10⁷ + 2,907 × 10⁷ = 4,255 × 10⁷ mm⁴ = 42,55 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 42,55 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 62,82 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

środnik: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·207,5 + 3600·100)/8100 = 159,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·15³/12 + 4500·(207,5 − 159,7)² = 1,036 × 10⁷ mm⁴

środnik: 18·200³/12 + 3600·(100 − 159,7)² = 2,484 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,036 × 10⁷ + 2,484 × 10⁷ = 3,52 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 215 − 159,7 = 55,28 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·55,28/3,52 × 10⁷ = 62,82 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 62,82 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics