Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (2, −1, 5) na b = (3, 1, 2), czyli składową a w kierunku b.

a = (2, −1, 5)b = (3, 1, 2)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(−1, −1, 3), B(1, 4, 2) i C(3, 4, −2). Współrzędne podano w metrach.

A(−1, −1, 3)B(1, 4, 2)C(3, 4, −2)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 8 kN/m w A do zera w B. W odległości 1,5 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 5 mw₀ = 8 kN/mP = 50 kN w 1,5 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 5 mP = 10 kN w 1 mw = 10 kN/m od 1 do 5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 25 kN ↓G: 20 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 40 kN ↓F: 20 kN ↓G: 40 kN ↓H: 30 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 0,8 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 10 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 10 kNAD = 1,2 mAB = 2,5 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 3 m wysoko i 3,6 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 20 kN w punkcie K, w odległości 2,16 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 2 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 20 kNQ = 2 kNL = 6 mH = 3 modległość pozioma od A do B = 3,6 modległość pozioma od A do K = 2,16 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 8 kN/m od 0 do 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 4 mw = 24 kN/m od 0 do 3 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 50 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 50 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = 4,009

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 2·3 + (−1)·1 + 5·2 = 15

Długość b

|b| = √(3² + 1² + 2²) = 3,742

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = 15/3,742 = 4,009

Odpowiedź

comp_b a = 4,009

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 11,58 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (2, 5, −1)

AC = C − A = (4, 5, −5)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 5·(−5) − (−1)·5 = −20

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−1)·4 − 2·(−5) = 6

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·5 − 5·4 = −10

|AB × AC| = √((−20)² + 6² + (−10)²) = 23,15

Pole trójkąta

A = ½·23,15 = 11,58 m²

Odpowiedź

A = 11,58 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 21,67 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·8·5 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,667 + 50·1,5

R_B = 21,67 kN

R_A = 70 − 21,67 = 48,33 kN

Odpowiedź

R_B = 21,67 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 24 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1 + 10·4·3

R_B = 130/5 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 26 = 24 kN

Odpowiedź

R_A = 24 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 38,33 kN (T), BC: 43,33 kN (T), CD: 43,33 kN (T), DE: 21,67 kN (T), FG: 38,33 kN (C), GH: 21,67 kN (C), AF: 47,92 kN (C), HE: 27,08 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 16,25 kN (T), BG: 6,25 kN (C), DG: 27,08 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 22,5 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 47,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 74,25 kN (C), HE: 67,18 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 45,96 kN (T), HC: 10,61 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 33,07 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 10·2,5/(0,5547·1,2) = 37,56 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 31,25 kN (w stronę ściany)

A_y = 10 − F_CD·sin α = −10,83 kN

Długość

A = √(31,25² + −10,83²) = 33,07 kN

Odpowiedź

A = 33,07 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 4,56 kN

Kierunek BC

BC = 3,842 m, cos = 0,6247, sin = 0,7809

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,7809·6 = 20·2,16 + 2·3

F_BC = 10,5 kN

Bilans poziomy

A_x + 2 − 10,5·0,6247 = 0

A_x = 4,56 kN → |A_x| = 4,56 kN

Odpowiedź

A_x = 4,56 kN

A_x jest skierowane w prawo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 21 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 20·1,5 − 8·1,5·0,75 = 21 kN·m

Odpowiedź

M_x = 21 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 42,19 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·3·1,5

R_B = 108/4 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 27 = 45 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 45/24 = 1,875 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 45·1,875 − 24·1,875²/2 = 42,19 kN·m

Odpowiedź

M_max = 42,19 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 81,36 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

środnik: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·310 + 4800·150)/7600 = 208,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·20³/12 + 2800·(310 − 208,9)² = 2,869 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·300³/12 + 4800·(150 − 208,9)² = 5,268 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,869 × 10⁷ + 5,268 × 10⁷ = 8,136 × 10⁷ mm⁴ = 81,36 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 81,36 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 204 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

środnik: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·110 + 1600·50)/6800 = 95,88 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·20³/12 + 5200·(110 − 95,88)² = 1,21 × 10⁶ mm⁴

środnik: 16·100³/12 + 1600·(50 − 95,88)² = 4,702 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,21 × 10⁶ + 4,702 × 10⁶ = 5,911 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 120 − 95,88 = 24,12 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·24,12/5,911 × 10⁶ = 204 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 204 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics