Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (−1, −7, 7) na b = (−2, −3, 0), czyli składową a w kierunku b.

a = (−1, −7, 7)b = (−2, −3, 0)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (5, 0, −4) i b = (−2, −3, 4) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂_x.

a = (5, 0, −4)b = (−2, −3, 4)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 4 kN/m w B. W odległości 2 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 15 kN w 2 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości zero przy ścianie, rosnące do 12 kN/m na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 1,5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 55 kN w 1,5 m

M_A = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓D: 15 kN ↓F: 30 kN ↓H: 15 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 35 kN ↓D: 40 kN ↓F: 35 kN ↓F: 10 kN →G: 35 kN ↓H: 30 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 1 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 8 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 8 kNAD = 0,8 mAB = 2 mAC = 1 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4,5 m i poziomym ściągiem DE 1,8 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,6 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 20 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 20 kNAB = 2 mwysokość C = 4,5 mwysokość DE = 1,8 modległość pozioma od A do K = 0,6 m

C = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 2 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz maksymalny dodatni moment zginający M_max między podporami.

L = 8 mw = 12 kN/m od 0 do 8 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 110 × 10 mm, środnik o wysokości 330 mm i grubości 14 mm oraz półkę dolną 210 × 12 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 110 × 10 mmśrodnik: 14 × 330 mmpółka dolna: 210 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = 6,379

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−1)·(−2) + (−7)·(−3) + 7·0 = 23

Długość b

|b| = √((−2)² + (−3)² + 0²) = 3,606

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = 23/3,606 = 6,379

Odpowiedź

comp_b a = 6,379

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_x = 0,5298

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·4 − (−4)·(−3) = −12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−2) − 5·4 = −12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−3) − 0·(−2) = −15

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest ujemna, więc użyj −(a × b).

|a × b| = √((−12)² + (−12)² + (−15)²) = 22,65

n̂ = −(−12, −12, −15)/22,65 = (0,5298, 0,5298, 0,6623)

n̂_x = 0,5298

Odpowiedź

n̂_x = 0,5298

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 14,42 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·5,333 + 15·2

R_B = 14,42 kN

R_A = 31 − 14,42 = 16,58 kN

Odpowiedź

R_B = 14,42 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 146,5 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Moment względem ściany

M_A = W·x̄ + P·a = 24·2,667 + 55·1,5 = 146,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = 146,5 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 37,5 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 53,03 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 3,536 kN (C), HC: 3,536 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 66,56 kN (T), BC: 66,56 kN (T), CD: 74,69 kN (T), DE: 74,69 kN (T), FG: 96,87 kN (C), GH: 96,87 kN (C), AF: 94,27 kN (C), HE: 124,5 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 50,52 kN (T), HC: 36,98 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 20 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 8·2/(0,7809·0,8) = 25,61 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 16 kN (w stronę ściany)

A_y = 8 − F_CD·sin α = −12 kN

Długość

A = √(16² + −12²) = 20 kN

Odpowiedź

A = 20 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 6,398 kN

Reakcja podpory w B

B_y = 20·0,6/2 = 6 kN

Siła w ściągu

T = 6·1/2,7 = 2,222 kN

Siła w przegubie na BC

C_x = 2,222 kN, C_y = −6 kN

C = √(2,222² + 6²) = 6,398 kN

Odpowiedź

C = 6,398 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: C (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 47,5 kN, R₂ = 17,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 95, M_C = 140 kN·m, M_D = 105, M_E = 70, M_F = 35, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt C: M_C = 140 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 42,67 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·8·4

R_B = 384/6 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 64 = 32 kN

Zerowa siła tnąca

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 32/12 = 2,667 m

Maksymalny moment dodatni

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 32²/(2·12) = 42,67 kN·m

Odpowiedź

M_max = 42,67 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 36,03 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

środnik: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·245 + 2880·120)/5680 = 181,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·10³/12 + 2800·(245 − 181,6)² = 1,127 × 10⁷ mm⁴

środnik: 12·240³/12 + 2880·(120 − 181,6)² = 2,476 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,127 × 10⁷ + 2,476 × 10⁷ = 3,603 × 10⁷ mm⁴ = 36,03 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 36,03 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 140,2 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 1100 mm², y = 347 mm

środnik: A = 4620 mm², y = 177 mm

półka dolna: A = 2520 mm², y = 6 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1100·347 + 4620·177 + 2520·6)/8240 = 147,4 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 110·10³/12 + 1100·199,6² = 4,383 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·330³/12 + 4620·29,6² = 4,597 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 210·12³/12 + 2520·141,4² = 5,041 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,383 × 10⁷ + 4,597 × 10⁷ + 5,041 × 10⁷

I_x = 1,402 × 10⁸ mm⁴ = 140,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 140,2 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics