Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (−6, −4, 1) i b = (6, k, 1) są prostopadłe.

a = (−6, −4, 1)b = (6, k, 1)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(0, −1, 0), B(−4, −3, −4) i C(1, 2, −1). Współrzędne podano w metrach.

A(0, −1, 0)B(−4, −3, −4)C(1, 2, −1)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 10 mP₁ = 15 kN w 4 mP₂ = 50 kN w 8 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP = 15 kN w 3,5 mw = 2 kN/m od 1 do 3 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 15 kN ↓D: 15 kN ↓F: 40 kN ↓G: 15 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 45 kNobciążenie poziome = 5 kN ←

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 5 m, a B leży 4 m nad podłożem i 0,75 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,5625 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 5 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 5 kNL = 5 mH = 4 modległość pozioma od A do B = 0,75 modległość pozioma od A do K = 0,5625 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 2,5 m wysoko i 0,9 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 8 kN w punkcie K, w odległości 0,36 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 10 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 8 kNQ = 10 kNL = 6 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 0,9 modległość pozioma od A do K = 0,36 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz moment zginający M_x pod siłą P₁. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP₁ = 70 kN w 3 mP₂ = 70 kN w 10 mpodpory w x = 0 i x = 8 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 12 m60 kN @ 6 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 110 × 20 mm, środnik o wysokości 220 mm i grubości 12 mm oraz półkę dolną 190 × 12 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 110 × 20 mmśrodnik: 12 × 220 mmpółka dolna: 190 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = −8,75

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = (−6)·6 + (−4)·k + 1·1 = 0

−35 + (−4)·k = 0

Wyznacz k

k = −(−35)/(−4) = −8,75

Odpowiedź

k = −8,75

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 9,487 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (−4, −2, −4)

AC = C − A = (1, 3, −1)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·(−1) − (−4)·3 = 14

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−4)·1 − (−4)·(−1) = −8

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−4)·3 − (−2)·1 = −10

|AB × AC| = √(14² + (−8)² + (−10)²) = 18,97

Pole trójkąta

A = ½·18,97 = 9,487 m²

Odpowiedź

A = 9,487 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 46 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·4 + 50·8

R_B = 460/10 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 46 = 19 kN

Odpowiedź

R_B = 46 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 8,917 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3,5 + 2·2·2

R_B = 60,5/6 = 10,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 19 − 10,08 = 8,917 kN

Odpowiedź

R_A = 8,917 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 36,25 kN (T), DE: 36,25 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 51,27 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 12,37 kN (T), HC: 30,05 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −25,71 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·3 − 5·4 → C_y = 23 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 23 = 22 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −23/0,8944 = −25,71 kN

Odpowiedź

F_BC = −25,71 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 0,8207 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(4,25² + 4²) = 5,836 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(4/5,836)·5 = 5·0,5625

F_BC = 0,8207 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 0,8207 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 0,5208 kN

Kierunek BC

BC = 5,68 m, cos = 0,8979, sin = 0,4402

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,4402·6 = 8·0,36 + 10·2,5

F_BC = 10,56 kN

Bilans poziomy

A_x + 10 − 10,56·0,8979 = 0

A_x = −0,5208 kN → |A_x| = 0,5208 kN

Odpowiedź

A_x = 0,5208 kN

Znak minus oznacza, że A_x jest skierowane w lewo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 78,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·3 + 70·10

R_B = 910/8 = 113,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 113,8 = 26,25 kN

Przekrój pod P₁, zostaw lewą część

M_x = R_A·3 = 26,25·3 = 78,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 78,75 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 39 kN, R₂ = 86 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 124, M_D = 162 kN·m, M_E = 64, M_F = −50, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 162 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 3,973 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

środnik: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·110 + 1000·50)/5800 = 99,66 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 240·20³/12 + 4800·(110 − 99,66)² = 673674 mm⁴

środnik: 10·100³/12 + 1000·(50 − 99,66)² = 3,299 × 10⁶ mm⁴

I_x = 673674 + 3,299 × 10⁶ = 3,973 × 10⁶ mm⁴ = 3,973 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 3,973 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 73,11 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 2200 mm², y = 242 mm

środnik: A = 2640 mm², y = 122 mm

półka dolna: A = 2280 mm², y = 6 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2200·242 + 2640·122 + 2280·6)/7120 = 121,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 110·20³/12 + 2200·120,1² = 3,179 × 10⁷ mm⁴

środnik: 12·220³/12 + 2640·0,06742² = 1,065 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 190·12³/12 + 2280·115,9² = 3,067 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,179 × 10⁷ + 1,065 × 10⁷ + 3,067 × 10⁷

I_x = 7,311 × 10⁷ mm⁴ = 73,11 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 73,11 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Statyka: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Metoda

Reakcje podpór belek

Metoda

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda

Ramy i maszyny

Metoda

Siła tnąca i moment zginający

Metoda

Środek ciężkości i moment bezwładności

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Iloczyn skalarny równa się zero

Wyznacz k

Odpowiedź

Wektory krawędzi

Iloczyn wektorowy

Pole trójkąta

Odpowiedź

Schemat sił

Równowaga

Odpowiedź

Schemat sił

Równowaga

Odpowiedź

Węzeł B

Sprawdź metodą węzłów

Odpowiedź

Reakcje podpór

Węzeł C

Odpowiedź

Pręt dwusiłowy BC

Cała rama: momenty względem A

Odpowiedź

Kierunek BC

Cała rama: momenty względem A

Bilans poziomy

Odpowiedź

Reakcje podpór

Przekrój pod P1, zostaw lewą część

Odpowiedź

Reakcje podpór

Moment zginający w każdym punkcie

Odpowiedź

Podziel na dwa prostokąty

Środek ciężkości

Twierdzenie Steinera

Odpowiedź

Podziel na trzy prostokąty

Środek ciężkości

Twierdzenie Steinera

Odpowiedź

Przekrój pod P₁, zostaw lewą część